James Stirling est le troisième enfant d'Archibald Stirling et Anna Hamilton, fervents jacobites (mouvement politique anglais, écossais et irlandais fidèle au roi Jacques II, exilé en 1688 après un coup d'état d'origine hollandaise et française). Il est né en mai 1692 à Garden, à 20 km de Stirling (Ecosse).
On ne sait pas grand chose de son enfance. Son père fut arrêté quand il avait 17 ans et accusé de haute trahison (à cause de ses opinions jacobites), puis relâché. A l'automne 1710, il arrive à Oxford pour s'inscrire le 18 janvier 1711 au Balliol College à la « Snell Exhibition », une formation ouverte aux titulaires du baccalauréat voulant étudier à Oxford. Cependant, d'autres biographes pensent qu'il a étudié à l'université de Glasgow (bien qu'il n'y apparaisse pas dans les registres, mais tous les étudiants n'étaient pas systématiquement recensés). Une troisième hypothèse le fait étudier à Edimbourg : un élève du même nom y a signé le 24 mars 1710 et on sait qu'Archibald Stirling était issu de cette université... On ne sait pas actuellement quelle hypothèse est correcte.
Il s'inscrit en octobre 1711 à la « Bishop Warner Exhibition ». Les étudiants doivent normalement prêter serment au Roi, ce que Stirling refuse, toujours par soutien au jacobitisme. Cependant en août 1714, l'Allemand George I accède au trône d'Angleterre et un soulèvement jacobite s'ensuit. Refusant toujours de prêter serment, Stirling est exclu de l'université. Il est alors à son tour accusé de trahison (il aurait correspondu avec des responsables du soulèvement) puis acquitté. Bien qu'il ne puisse plus y obtenir de diplôme, Stirling semble avoir continué à étudier à Oxford.
Il publie en 1717 son premier ouvrage, où il poursuit un travail de Newton, qui en recevra une copie. Il y résout également un problème soulevé par Leibniz (certains pensent qu'il l'avait déjà résolu depuis un an). La même année, il part pour Venise, apparemment pour accompagner l'ambassadeur vénitien à Londres qui rentre. Il semble qu'on avait promis à Stirling une chaire à Venise qu'il n'a finalement pas eue.
Il y était encore en 1719 puisqu'il expédia de cette ville un article (Methodus differentialis Newtoniana illustrata) pour la société Royale de Londres. On retrouve sa trace en 1721 à Padoue, où il a rencontré Nicolas Bernoulli qu'il aurait introduit auprès de Newton. Il rentre à Glasgow en 1722, peut-être parce que Bernoulli quitte Padoue (une autre version plus romanesque raconte qu'il aurait découvert le secret des fabriquants de verre qui l'auraient menacé de mort). Deux ans plus tard, il arrive à Londres où il essaie de percer comme professeur de mathématiques indépendant. Il y restera dix ans, pendant lesquels il solidifie son amitié avec Newton. Ce dernier l'aide à se faire élire à la Société Royale (3 novembre 1726).
En 1730, toujours à Londres, il publie Methodus Differentialis, considéré comme son plus important ouvrage. Il y traite de sommes et de séries, et il y donne sa célèbre formule donnant un équivalent de n! (n!, qui se lit « n factoriel » est le produit des n premiers nombres entiers ; un équivalent de n! est une formule censée valoir « à peu près » n! si n est de plus en plus grand). La même année, De Moivre publie Miscellanea Analytica qui ouvre la porte à une importante collaboration entre les deux mathématiciens.
En 1735, il revient en Ecosse pour travailler comme administrateur d'une compagnie minière. Ce travail était très prenant, si bien qu'il ne publiera plus d'articles mathématiques, même s'il semble avoir continué ses recherches. En 1746, la chaire d'Edimbourg se libère, mais les opinions politiques de Stirling l'empêchent à nouveau d'y accéder. Il est cependant élu à l'Académie Royale de Berlin. Un an plus tard, il démissionne de la Société Royale de Londres, ne pouvant plus payer sa cotisation. Il décède le 5 décembre 1770 à Edimbourg.

Il a notamment publié :
Lineae Tertii Ordinis Neutonianae (1717)
Methodus differentialis Newtoniana illustrata (1719)
Methodus Differentialis (1730)

Sources :
Université St-Andrews
Wikipédia Angleterre