On confond souvent les paradoxes et les sophismes, au point de mettre le mot « paradoxe » à toutes les sauces, même quand c'est un abus de langage. Alors quelle est la différence et quelles sont les utilités de ces raisonnements ?

Le paradoxe est un raisonnement juste mais qui conduit à une contradiction. Par contradiction, on entend soit qu'il conduit à deux conclusions opposées, soit qu'il amène à une conclusion contredisant les principes auparavant établis. Le sophisme conduit également à une contradiction. Cependant, c'est cette fois parce que le raisonnement contient une erreur volontaire et dissimulée. En résumé, les sophismes proviennent d'une faute à l'égard de la logique tandis que les paradoxes proviennent d'une faute dans les bases de la théorie.
Par exemple, sur ce site, la page Quelques histoires cite des paradoxes tandis que les pages 3 = 1, pi = 2 et tout nombre vaut 1 ne montrent que des sophismes.

Quelles sont les utilités de ces raisonnements ? Commençons par le sophisme. Il est certes souvent dangereux car il est utilisé par des gens de mauvaise foi pour démontrer un résultat qu'ils savent faux, mais dont ils voudraient qu'il soit accepté comme vrai. Cependant, il peut avoir un intérêt pédagogique, ce que j'exploite sur ce site : il est très instructif de chercher l'erreur d'un sophisme et de plus, le sophisme nous montre combien il est important dans les sciences d'être rigoureux.
Le paradoxe est encore plus intéressant. Le fait qu'il arrive à une contradiction tout en suivant un raisonnement valable montre que les principes utilisés dans le raisonnement sont soit faux soit incomplets. Ainsi, le paradoxe nous amène à repenser ou compléter nos connaissances afin de les améliorer, de les rapprocher de la vérité. Mieux, un résultat qui peut paraître paradoxal à une époque peut devenir plus tard une vérité évidente (voir citations plus bas). C'est par exemple le cas de l'héliocentrisme, théorie choquante à l'époque de Copernic et aujourd'hui admise comme référence.

« Les paradoxes d'aujourd'hui sont les préjugés de demain » (Proust)
« J'aime mieux être homme à paradoxes qu'homme à préjugés » (Rousseau)
« Le paradoxe est [...] le nom que les imbéciles donnent à la vérité » (Jean Moréas)
« Les paroles de vérité semblent paradoxales » (Lao-Tseu)
« Ce qui est aujourd'hui un paradoxe pour nous sera pour la postérité une vérité démontrée » (Diderot)
« Le chemin des paradoxes est le chemin du vrai » (Oscar Wilde)
« Qu'est-ce qu'un paradoxe, sinon une vérité opposée aux préjugés du vulgaire ? » (Diderot)

Sources (citations) :
http://www.citationsdumonde.fr
Les grands paradoxes de la science, Science et avenir hors-série, juin-juillet 2003