Nous allons d'abord montrer que tous les entiers sont égaux en utilisant une démonstration par récurrence (cliquez ici si vous ne savez pas ce que c'est). On utilise l'hypothèse Hn : « si max (a,b) est inférieur ou égal à n, alors a = b ».
Vérifions H0 : si max (a,b) est inférieur ou égal à 0, c'est-à-dire si le plus grand entier entre a et b vaut 0, alors ils sont forcément tous deux égaux à 0 (ne pouvant pas être plus petits) et donc ils sont aussi égaux entre eux.
A présent supposons Hn pour un certain n. Considérons deux nombres a et b tels que max (a,b) est inférieur à égal à n+1. Alors max (a-1,b-1) est inférieur ou égal à n et donc d'après Hn on a a-1 = b-1 et donc a = b. Ainsi, en supposant Hn, on a montré que « si max (a,b) est inférieur ou égal à n+1, alors a = b ». Autrement dit, en supposant Hn on a montré Hn+1 : la propriété H est héréditaire.
Par récurrence, on a donc que Hn est vraie pour tout n. A présent, prenons deux entiers A et B et notons C le maximum de A et B. on a max (A,B) inférieur ou égal à C donc d'après HC, on obtient A = B. Ainsi, deux entiers sont toujours égaux !
Bon d'accord, il doit y avoir une erreur. Mais où ?

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