Vous participez à un jeu de hasard. Vous avez devant vous deux boites. L'une d'elles contient une certaine somme, l'autre contient le double. Vous devez en choisir une.
Quand vous annoncez laquelle vous voulez, le meneur du jeu (qui ne sait pas laquelle est meilleure) vous demande si vous ne voulez pas changer. Vous faites donc un petit calcul : Si vous prenez l'autre, vous avez :
- une chance sur deux qu'elle contienne le double de la première, soit un gain de 2
- une chance sur deux qu'elle contienne la moitié de la première, soit un gain de 1/2.
L'espérance de gain est donc : (1/2) x 2 + (1/2) x (1/2) = 5/4. Il vaut donc mieux prendre l'autre boite, c'est un meilleur choix.
Il semble donc que quelque soit votre premier choix, il est mauvais. Paradoxal, non ?

En fait, le problème est que nous avons calculé des gains relatifs. Mais l'espérance, qui est une fonction dite linéaire, est faite pour être utilisée avec des gains absolus... La bonne manière de faire le calcul précédent est de noter x la différence entre les deux enveloppes. Dans le premier cas, le gain n'est pas de 2 mais de x et dans le second, il n'est pas de 1/2 mais de -x. Ce qui donne finalement une espérance de 0, donc un choix bien équilibré !