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Je vais vous démontrer par récurrence que pour tout entier positif k, la fonction fk qui à x associe xk est constante. Pour k = 0, j'obtiens la fonction f0 qui à x associe 1, qui est donc bien constante. Faisons maitenant l'hérédité : je suppose que pour n'importe quel i entier positif inférieur à k, la fonction fi est constante. Alors xk+1 = x.xk, soit en terme de fonctions fk+1 = f1.fk, et donc je peux dériver avec la formule du produit : (fk+1)' = f1'.fk + f1.(fk)'. Mais mon hypothèse de récurrence implique que f1 ainsi que fk sont constantes, d'où f1' = 0 et (fk)' = 0. Dès lors (fk+1)' = 0.fk + f1.0 = 0, et la fonction fk+1 est bien constante. J'ai montré l'hérédité, et je conclus par récurrence...
Bon évidemment, il doit y avoir une erreur quelque part : la fonction qui à x associe x4 est loin d'être constante ! Mais où est l'erreur ?
Solution