Je vais démontrer ici que dans un plan, n points quelconques sont toujours alignés. Cette démonstration se fait par récurrence. Si vous ne savez pas ce que c'est, cliquez ici.

Commençons par montrer l'hérédité : supposons qu'on ait montré que n points sont toujours alignés. Soient alors (n+1) points : A1, A2, ... , An+1. Les points A1 jusqu'à An sont un ensemble de n points donc d'après l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés. Autrement dit, le point A1 est sur la droite formée par les points A2 à An.
De même, les points A2 jusqu'à An+1 sont un ensemble de n points donc d'après l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés. Donc le point An+1 est sur la droite formée par les points A2 à An. Alors les points A1 à An+1 sont tous sur la même droite, celle formée par les points A2 à An. Les (n+1) points sont alignés.

Puisqu'on a l'hérédité, il ne nous manque que l'initialisation. Or elle est évidente : pour n = 2, 2 points sont toujours alignés ! Donc finalement, par récurrence, pour tout n à partir de 2, n points du plan sont toujours alignés.

Et pourtant, si je dispose trois points en triangle, ils sont loin d'être éloignés ! Aurais-je donc fait une erreur de raisonnement ?

Réponse