Le barbier de Séville
A Séville, un barbier disait à ses clients : « je rase toutes les personnes de la ville qui ne se rasent pas elles-mêmes » (loi 1). Bien entendu, il ne rase pas ceux qui se rasent eux-mêmes (loi 2). Que penser de son cas ?
En effet, si le barbier se rase lui-même, alors, selon la loi 2, il ne se rase pas. Il y a contradiction.
En revanche, s'il ne se rase pas lui-même alors, selon la loi 1, il se rase lui-même. Il y a aussi contradiction.
En fait, ce paradoxe peut être résolu en supposant que le barbier est une femme...
La bibliothèque et le catalogue
Alors qu'il s'ennuyait, un homme serviable décida de se rendre à la bibliothèque où il entreprit de lister les livres d'un rayon. Une fois ce travail accomplit, il en fit un catalogue qu'il remit à la bibliothécaire qui ne manqua pas de le remercier. Se voyant utile, l'homme recommença avec les autres rayons de la bibliothèque. Mais ce n'est qu'une fois tous les catalogues achevés que la bibliothécaire se rendit compte d'un grave problème : le premier catalogue ne se comprenait pas lui-même. Il ne pouvait donc pas être mis en rayon : il deviendrait incomplet donc inutile. Pourtant, sa fonction l'obligeait à mettre tous les livres en rayon.
Une solution fut trouvée : l'homme refit un catalogue où il fit figurer l'ancien catalogue (car la bibliothécaire était quand même obligée de le
garder) et le nouveau. Ainsi, les deux purent être mis en rayon.
Bien sûr, il avait fallu faire de même pour chaque rayon, puisque chaque catalogue initial présentait le même défaut. Si bien que la bibliothèque contenait à présent une multitude de catalogues qui ne se contenaient pas eux-mêmes et de catalogues qui se contenaient eux-mêmes. Il apparut donc la nécessité de faire un catalogue des catalogues, ou plutôt, pour une utilisation plus simple, de faire un catalogue des catalogues qui se contiennent eux-mêmes et un catalogue des catalogues qui ne se contiennent pas eux-mêmes (on l'appellera X).
Mais ce dernier posait un problème : devait-il se contenir lui-même ? En effet, si X se contient lui-même, alors X est un des catalogues se
comprenant eux-mêmes donc X ne doit pas être répertorié dans X donc X ne se contient pas lui-même. Contradiction. A l'inverse, si X ne se contient pas lui-même, alors il doit être répertorié dans X donc il se contient lui-même. En conclusion, X ne peut être classé.
En réalité, les deux paradoxes que vous venez de lire sont deux formes d'un même paradoxe, le paradoxe de Russell. Russell nous montre un dysfonctionnement de la théorie des ensembles. Le paradoxe vient du fait que nous incluons un ensemble dans lui-même.
Pour éviter ces paradoxes, il faut suivre la règle suivante : ce dont la définition implique d'une manière quelconque les membres d'une classe (par exemple à travers la mention de cette classe) ne doit pas être membre de cette classe ; ou, dit plus simplement, ce qui contient une variable ne doit pas être une valeur possible de cette variable.
L'avocat
Il y avait dans une ville un avocat réputé pour ne jamais perdre un procès. Un jour, un jeune avocat voulut suivre ses cours. Mais il n'avait pas assez d'argent pour les régler. Le maître accepta de n'être payé que lorsque l'élève gagnerait son premier procès. Le maître lui apprit donc ce qu'il savait et le jeune avocat s'installa à son compte. Mais il ne vit jamais l'ombre d'un client durant des années. Si bien que le maître s'impatienta et lui intenta un procès pour réclamer son dû. Comme d'habitude, il fut très astucieux : « Si je gagne mon procès, tu me payes en exécution du jugement ; si je perds alors tu gagnes et, conformément à notre accord, tu devras me payer. Ainsi, tu es obligé de me payer. »
Mais son enseignement avait porté ses fruits et son disciple répondit ainsi : « Tu te trompes. Si je gagne, je n'ai pas à te payer, en exécution du jugement ; si je perds, je ne te paye pas puisque je ne dois le faire que quand j'aurai gagné un procès. Dans tous les cas, je ne paye rien. »
L'élève avait dépassé le maître.
Sources :
Le barbier de Séville/L'avocat : La spirale de l'escargot, Armand Herscovici, éditions du Seuil, février 2000
La bibliothèque et le catalogue : mon cours de philo.
Illustrations : Tangente hors-série n°10, avril 2002