Comme toutes les sciences, les mathématiques sont basées sur des définitions précises : sur quelques affirmations de base, posées comme vraies, qui permettent de déduire toutes les autres propriétés. Ces affirmations sont appelées axiomes. A partir des axiomes, il est possible de retrouver tous les théorèmes. Et si on modifie ces axiomes, ce qui ne pose aucun problème puisqu'ils sont définis arbitrairement, on peut voir venir de nouvelles propriétés.

C'est le cas de la géométrie. C'est Euclide qui a posé les fondements de la géométrie la plus connue : la géométrie euclidienne, celle qui est pratiquée par tous, à l'école ou en dessinant sur un papier. Euclide a posé 9 axiomes et 6 postulats, sur lesquels se fonde encore la géométrie euclidienne. Le « problème » est né de ces postulats, plus précisément du cinquième. Il stipule que « Par un point donné ne passe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée ». Un postulat qui semble être une évidence. Il semblerait qu'il puisse être démontré avec les autres postulats, et donc qu'il ne soit pas vraiment un postulat ni un axiome mais juste un théorème, inutile pour poser les bases. Ainsi, des recherches ont été menées pour essayer de démontrer cet axiome. Mais aucune n'a abouti.

Pour essayer, certains ont tenté de raisonner par l'absurde : ils ont remplacé ce postulat par sa négation et en ont étudié les conséquences. On peut citer Saccheri (1667 - 1673), Lambert (1728 - 1777), ou Legendre (1752-1833). Tous ont eu une grande surprise : ils n'aboutissaient jamais à la moindre contradiction. Autrement dit, il est tout à fait possible de raisonner avec d'autres axiomes que ceux d'Euclide. On obtient des résultats complètement différents, mais corrects. Ainsi sont nées les géométries non-euclidiennes : la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique.

La géométrie hyperbolique part du principe que « Par un point donné passent une infinité de droites parallèles à une droite donnée ». La géométrie elliptique part au contraire du principe que « Par un point donné extérieur à une droite donnée, on ne peut faire passer aucune parallèle ».

A quoi servent donc ces géométries ? Rien que leur existence est déjà très bénéfique : elles nous montrent que les modèles mathématiques ne sont pas uniques, que rien ne nous empêche de choisir d'autres bases, pour découvrir d'autres choses. Mais leurs applications sont aussi très importantes : une des conséquences du changement d'axiome est de remplacer les plans de la géométrie euclidienne par des surfaces courbées (en bosse dans une géométrie, en creux dans l'autre). Cela nous permet de mieux modéliser le monde, car le plat parfait n'existe pas dans la nature, alors que les plans non-euclidiens se rapprochent de la nature. Sans compter les applications en cosmologie : on a découvert que l'univers n'est pas « plat » mais « courbé ». Il appartient à l'une des deux géométries non-euclidiennes. Si on arrivait à déterminer laquelle, on pourrait alors savoir s'il va s'étendre indéfiniment ou s'il va se contracter (cliquez ici pour en savoir plus sur la cosmologie).

En bref, les géométries non-euclidiennes nous ouvrent de nouvelles et formidables portes. Elles n'ont pas fini de susciter l'intérêt des mathématiciens !

Sources :
http://perso-info.enst-bretagne.fr/~brouty
http://fr.wikipedia.org/