A partir d'une surface convexe (si on prend deux points intérieurs à cette surface, le segment qui les relie est contenu dans la surface. Intuitivement, on peut « voir » toute la surface à partir de chacun de ses points), on définit ainsi son « gonflement de rayon R » (vocabulaire très personnel) : il s'agit de la courbe obtenue en s'éloignant de la surface d'une distance égale à R ; autrement dit, c'est la courbe dont les points sont à une distance R du bord de la surface. Par exemple, pour un carré, on a la figure ci-contre.
L'aire de gonflement de rayon R de la surface est alors l'aire de la zone située entre le gonflement et la surface elle-même. Sauriez-vous trouver une formule exprimant cette aire ?
Il faut commencer par étudier des polygones convexes. Si vous observez le carré ci-dessus, vous pourrez constater que la zone de gonflement est composée de quatre rectangles, ayant pour côtés R et le côté du carré, ainsi que de quatre quarts de cercle dont la rayon vaut R. La situation est semblable pour tout polygone :
Etant donné un polygone, pour chacun des n côtés, on va trouver un segment parallèle à ce côté et de même longueur, situé à une distance R : il s'agit plus précisément de l'image du côté par la translation de vecteur normal au côté et de norme R. Ces segments définissent donc un rectangle dont l'un des côtés vaut R et l'autre est égal au côté correspondant du polygone. La somme des aires de ces rectangles est donc la somme pour i allant de 1 à n de Rli, où li est la longueur du côté numéro i du polygone. En factorisant R, cette somme vaut donc R fois la somme des li, autrement dit R fois le périmètre du polygone !
Pour finir de déterminer le gonflement, il faut regarder ce qui se passe aux angles : on a alors toujours une portion de disque, de rayon R et dont les « côtés » sont perpendiculaires à chaque côté du polygone à cet angle. Du coup, si on considère ces parties de disques dans l'ordre en suivant le polygone, on constate que le « dernier côté » d'une « part » se retrouve parallèle avec le premier de la « part » suivante (car ils sont perpendiculaires au même côté du polygone). Du coup, quoiqu'il arrive, toutes ces parties réunies forment exactement un cercle entier de rayon R (et donc de surface R2pi).
Finalement, l'aire de gonflement de rayon R vaut RP + R2pi, où P est le périmètre du polygone. Voilà une jolie formule, non ?
Ensuite pour une surface convexe quelconque, il suffit de remarquer qu'elle est la limite d'une suite de polygones (ce qui je l'avoue n'est pas très évident, mais on l'admettra ici), et donc la formule reste valable pour toute surface ! Vous pouvez par exemple vérifier que ça marche pour un disque (le gonflement de rayon R d'un disque de rayon a est tout simplement le disque de rayon R+a).