Connaissez-vous le thorme du carreleur ?
Si on veut raliser un pavage en n'utilisant que des carreaux rguliers (c'est--dire des polygones rguliers) en respectant deux rgles :
   - Chaque coin de carreau ne touche que des coins (condition de non-dcalage)
   - On retrouve la mme disposition autour de chaque coin (condition des coins identiques)
Alors il n'existe que 11 pavages possibles !
Dmontrons ce rsultat tonnant :

I) Gnralit sur les polygones.
Dans la suite de cette page, nous utiliserons comme unit d'angle le « tour », c'est--dire 360. Ainsi, vous savez certainement que la somme des angles d'un triangle vaut 1/2. Ds lors, si on considre un polygone n cts sans sommet cach, c'est--dire qu'il y a un point O l'intrieur de ce polygone et partir duquel on « voit » tous les sommets, on peut dcomposer ce polygone en n triangles ayant tous O comme sommet. La somme des angles de tous ces triangles vaut alors n/2. Donc la somme des angles intrieurs du polygone (on enlve simplement les angles autour de O, soit exactement un tour) vaut n/2 - 1.
Dans le cas d'un polygone rgulier, tous les angles sont gaux donc en divisant la somme par n, chaque angle vaut 1/2 - 1/n.
Notez que comme n est suprieur 3 et comme 1/2 - 1/3 = 1/6, l'angle d'un polygone rgulier vaut au moins 1/6.

II) Pavages de Platon
On considre ici les pavages dcrits ci-dessus (obissant au thorme du carreleur), avec la restriction que les polygones utiliss sont tous identiques. On les appelle pavages de Platon. Alors on note n leur nombre de cts, p le nombre de polygones autour de chaque coin et a l'angle des polygones. Alors pa = 1. Donc, comme a est au moins gal 1/6, p vaut au plus 1/a soit 6. Donc p vaut 3, 4, 5 ou 6.
De plus, a = 1/2 - 1/n et a = 1/p donc 1/p + 1/n = 1/2.
Si p = 3, on obtient n = 6. Si p = 4, on a n = 4. Si p = 6, on a n = 3. Il est impossible d'avoir p = 5 car alors n = 10/3 n'est pas entier.
Il y a donc exactement trois pavages de Platon : l'un avec des carrs, un avec des triangles quilatraux et le dernier avec des hexagones rguliers.

III) Le thorme du carreleur
Soient p le nombre de polygone autour de chaque sommet, n1, n2, ..., np le nombre de cts de ces polygones et a1, a2, ... ap les angles de ces polygones. On a deux conditions :
a1 + a2 + ... + ap = 1
pour chaque i entre 1 et p, ai = 1/2 - 1/ni
On en dduit en sommant tout : p/2 - 1/n1 - 1/n2 - ... - 1/np = 1 d'o 1 + 1/n1 + 1/n2 + ... + 1/np = p/2.
Comme prcdemment, on a p = 3, 4, 5 ou 6.
Pour p = 3, on cherche donc trois nombres a, b et c tels que 1/a + 1/b + 1/c = 1/2. On trouve de nombreux triplets solutions, mais seulement 4 permettant de dfinir un pavage rel : (3, 12, 12), (4, 6, 12), (4, 8, 8) et (6, 6, 6) (le dernier correspond au pavage de Platon base d'hexagones).
De mme, pour p = 4, on trouve (3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6) et (4, 4, 4, 4) (l encore, un pavage de Platon).
Pour p = 5, (3, 3, 3, 3, 6) et (3, 3, 3, 4, 4).
Et pour p = 6, on trouve seulement le pavage de Platon (3, 3, 3, 3, 3, 3).

Enfin, on remarque que si presque toutes ces solutions donnent un pavage unique, (3, 3, 3, 4, 4) en donne deux selon que l'on ordonne les polygones dans l'ordre (3, 3, 3, 4, 4) ou (3, 3, 4, 3, 4). On a donc bien obtenu 11 pavages, dont 3 de Platon.

Source :
Les malices du kangourou Collges, ACL-Les ditions du Kangourou, 2002