Vous vous rappelez ce qu'est le centre de gravit ? C'est l'intersection des mdianes, ou si vous connaissez les barycentres c'est l'isobarycentre du triangle (pour plus de rappels sur les points particuliers du triangle, voyez Des mdiatrices la droite d'Euler).
Illustration du thormePrenez prsent un triangle quelconque (ci-contre en noir). Sur chacun de ses trois cts, on peut construire un triangle quilatral extrieur (en bleu). Dans chacun de ces nouveaux triangles, on peut construire le centre de gravit (en rouge : G1, G2 et G3). On dfinit ainsi un dernier triangle G1G2G3.
Il se trouve alors que ce dernier triangle est toujours quilatral, quelque soit le triangle de dpart ! De plus, les deux triangles ont le mme centre de gravit... Ce rsultat peut se montrer en terminale avec les nombres complexes : cliquez ici (fichier PDF compress en ZIP, 109 Ko. si vous n'avez pas Acrobat Reader ou Winzip, allez sur la page de liens).
Ce rsultat est connu sous le nom de thorme de Napolon, bien qu'il n'y ait aucune preuve tangible que l'empereur en soit bien l'auteur... De plus, il peut tre vu comme le pendant dans un triangle du thorme de Victor Thbault (rsultat semblable dans un quadrilatre).