Alors qu'Euclide (qu'on confond souvent avec Euclide de Mégare, philosophe contemporain de Platon) est un des plus célèbres mathématiciens, on ne sait quasiment rien de lui à cause de son ancienneté. De plus, le peu qu'on sait de lui nous vient de Proclus qui a vécu un millénaire plus tard !
Il serait né vers -325 en Grèce et mort vers -265. Il étudia à Athènes, chez les successeurs de Platon, puis fut invité par Ptolémée Ier à Alexandrie où il enseigna. Il se pourrait qu'il soit platonicien, mais ce n'est pas sûr.
En revanche, on connaît beaucoup d'ouvrages signés de son nom, même si on ne peut être sûr qu'il en soit vraiment l'auteur : Données, Les Éléments (13 volumes), Data (94 théorèmes), Sur la division (sous entendu la division des figures), l'optique et les phénomènes. Il aurait aussi écrit d'autres ouvrages aujourd'hui perdus : Les Surfaces, les Coniques, le livre des Paradoxes et les Eléments de Musique. On ne sait pas non plus si les résultats qu'il cite lui sont dus ou s'il se contente de compiler des données déjà connues (on penche plus pour cette possibilité). Certains supposent que les élèves d'Euclide ont continué son oeuvre après sa mort, signant de son nom et créant ainsi un Bourbaki antique. D'autres vont encore plus loin, disant qu'Euclide n'a simplement pas existé.
Les premiers livres des Elements décrivent essentiellement la géométrie plane. Euclide y fonde l'axiomatique de la géométrie euclidienne, et démontre en partant de ces axiomes un grand nombre de propriétés. Le plus connu de ces axiomes est le cinquième postulat, qui affirme qu'à partir d'une droite et d'un point qui ne lui appartient pas, on peut tracer une unique parallèle à la droite passant par le point. Cet axiome a longtemps posé problème : on a d'abord pensé qu'il était inutile, qu'il dépendait des autres axiomes, puis on a démontré le contraire. On a ensuite détourné cet axiome pour fonder les géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique considère qu'on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée passant par un point donné, la géométrie parabolique suppose qu'on ne peut en tracer aucune.
Le contenu des Eléments :
- Livres I à IV : géométrie plane
- Livre V : théorie des rapports et de la proportionnalité (d'après Eudoxe), premières notions d'analyse. On y voit aujourd'hui une base de la théorie des réels
- Livre VI : similitudes dans le plan (on trouve d'ailleurs une démonstration du théorème de Thalès)
- Livres VII à IX : arithmétique : PGCD, nombres premiers, ...
- Livre X : nombres algébriques quadratiques des Pythagoriciens
- Livres XI à XIII : géométrie dans l'espace, volumes des solides usuels, polyèdres réguliers
Extrait du Sommaire de Proclus :
« Euclide a réuni les Elements en collectant de nombreux théorèmes d'Eudoxe, en perfectionnant ceux de Théétète et en apportant les preuves irréfutables de choses qui avaient été partiellement démontrées par ses prédécesseurs. Cet homme vivait à l'époque du premier Ptolémée. Car Archimède qui vient immédiatement après le premier [Ptolémée] mentionne Euclide. Par la suite, lorsque Ptolémée lui demanda s'il n'y avait en géométrie de chemin plus court que celui des Elements, il répondit qu'il n'y avait pas de voie royale en géométrie. Il est plus récent que les disciples de Platon mais plus ancien qu'Eratosthène et Archimède, ce dernier ayant été son contemporain selon les dires d'Eratosthène. »
Source :
http://www.bibmath.net