Diophante (Diophantos en grec), de son vrai nom Diophante d'Alexandrie, est souvent considéré comme le père de l'algèbre. On ne sait presque rien de sa vie. On estime qu'il a vécu vers le IIIème siècle après J. C.. Il n'y a que trois choses dont on soit certains :
- Il a vécu avant Théon d'Alexandrie (car celui-ci cite Diophante) donc avant la seconde moitié du IVème siècle de notre ère
- Il a vécu après Hypsiclès (car Diophante cite Hypsiclès) soit après la première moitié du IIème siècle avant J.C..
- On connaît précisément l'âge qu'il avait à sa mort grâce à un problème grec de 500 après J.C. (voir ci-dessous).
Diophante serait né en Syrie mais aurait vécu à Alexandrie.
L'oeuvre de Diophante, perdue par le monde occidental jusqu'au XVIIème siècle mais conservée par les Arabes, est composée de trois ouvrages : Porismes (ce livre n'a pas été retrouvé), Peri polygonon arithmon (les nombres polygonaux) et, le plus connu, Arithmeticus (les Arithmétiques).
Les Arithmétiques seraient composées de 13 volumes mais on n'en connaît actuellement que dix. Et encore, les 4 derniers volumes supposés (trouvés en Iran en 1968) ne sont pas encore certifiés. Les Arithmétiques sont une anthologie de 130 problèmes, souvent des équations dont Diophante cherche les solutions positives.
Le grand progrès apporté par Diophante est l'utilisation du symbolisme en mathématiques, notamment l'invention du Plethos, l'inconnue d'un problème. Diophante s'intéresse principalement aux problèmes suivants :
- résolution d'équations quadratiques, qu'on appelle aujourd'hui équations du second degré (ax2 + bx + c = 0). Leur résolution est aujourd'hui étudiée au lycée (première pour les solutions réelles et terminale pour les solutions imaginaires, voir le fabuleux destin des nombres)
- décomposition de nombres en deux carrés , puis décomposition d'un carré en deux carrés. Il aurait découvert, sans la démontrer, la propriété « Les entiers de la forme 4n + 1 peuvent tous se décomposer en deux carrés ». A propos de ce partage, C'est en lisant Diophante que Fermat écrit qu'il est impossible de trouver des entiers x, y et z tels que xn + yn = zn avec n supérieur à 2. Il disait avoir une démonstration évidente mais pour la découvrir, il a fallu attendre 1994. Elle tient en 1000 pages...
- détermination de valeurs telles que deux expressions linéaires données soient des carrés (par exemple trouver x tel que 6x+8 et 5x-2 soient deux carrés)
Diophante est également connu pour les équations diophantiennes, c'est-à-dire les équations du type ax + by = c ou x et y sont des entiers relatifs. Cependant, Diophante ne travaillait que sur des exemples numériques. Il donnait donc souvent une seule solution parmi toutes les possibilités et il ne trouvait pas de méthode générale de résolution. Malgré cela, Diophante est souvent considéré comme le dernier grand mathématicien du monde helléniste et comme le seul algébriste ayant écrit en grec, et il appartient au panthéon des plus grands mathématiciens.
Comment a-t-on su à quel âge il est mort ? Voici un problème grec datant d'environ 500 après J.C. et qui selon la légende était inscrit sur le tombeau de Diophante. Il en existe plusieurs traductions, en voici une (Emile Fourrey, Récréations mathématiques) :
Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.
Solution :
soit x l'âge qu'il avait à sa mort. D'après le poème, son enfance a duré x/6 ; son adolescence x/12. Puis il passe x/7 avant de se marier. Il s'écoule encore 5 ans. Puis, toute la durée de la vie de son fils, soit x/2. Enfin, il reste 4 ans avant sa mort. On a donc : x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. C'est une simple équation du premier degré, la solution est 84 ans.
Note : dans Oh, les maths !, Yakov Perelman (1882-1942) nous donne une autre version de cet épitaphe.
Sources :
Mathématiques et mathématiciens, Pierre Dedron et Jean Itard, Magnard, 1959
Des mathématiciens de A à Z, Bertrand Hauchecorne et Daniel Surratteau, Ellipses, 1996
Les mathématiques au fil des âges, Gauthier-villars, 1987
http://www.bibmath.net
Photo : première page du volume IV des Arithmétiques.