Pierre Simon de Fermat naît en 1601 à Beaumont de Lomagne (près de Toulouse). Il étudie le droit au monastère franciscain de Grandselve puis aux universités de Toulouse, Bordeaux et enfin Orléans. Il devient magistrat. Il est nommé conseiller au parlement de Toulouse (1631) puis membre de la chambre de l'édit de Castres.
Fermat étudie les mathématiques en lisant les ouvrages de l'antiquité, surtout ceux de Diophante. En lisant l'Arithmetica, il annote les marges de son exemplaire. A sa mort, son fils publie ces notes et en 1840, elles seront toutes démontrées ou invalidées. Toutes sauf une, qu'on connaît sous le nom de grand théorème de Fermat (voir plus bas).
A part ce célèbre car problématique résultat, Fermat est connu pour avoir créé la géométrie analytique (c'est-à-dire la géométrie qui se base sur les coordonnées des points), le calcul infinitésimal (en même tant que Leibniz et Newton), le calcul des probabilités (avec Pascal, à partir de 1654) et surtout la théorie moderne des nombres (l'étude des nombres entiers).
Fermat survit miraculeusement à la peste en 1952 mais il meurt en 1665 à Castres.
Le grand théorème de Fermat :
« Un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus généralement aucune puissance supérieure stricte à 2 n'est somme de deux puissances analogues. J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l'écrire dans cette marge car elle est trop longue ».
On ne saura jamais si Fermat avait comme il le disait une démonstration simple de ce théorème ; ce qu'on sait, c'est qu'il a fallu pour le démontrer attendre trois siècles (le 19 septembre 1994) et que cette démonstration (d'Andrew Wiles) nécessite plus de 1000 pages !
Avant cette date, on devra se contenter des démonstrations pour n = 3 (faite par Euler, mais avec une erreur), n = 4, n = 5 (Dirichlet et Legendre en 1823) et pour tout entier jusqu'à 100, hormis 37, 59 et 67 (grâce à Kümmer).
Une des grandes avancées dans la résolution du problème est due à une femme, Sophie Germain : elle a démontré que si n est premier et impair, et si 2n + 1 est premier, alors la proposition xn + yn = zn implique que x, ou y, ou z est divisible par n.
Ce théorème est parfois appelé théorème de Fermat-Wiles (ce que Wiles mérite amplement).
En revanche, pour n = 2, il existe de nombreux carrés dont la somme est un carré. Pour en savoir plus : Les nombres de Pythagore.
Source :
http://www.bibmath.net