Vous connaissez probablement le théorème de Pythagore. Vous connaissez aussi peut-être le triangle 3-4-5 : c'est un triangle rectangle dont les mesures des côtés sont entières, qui était utilisé par les égyptiens pour mesurer des angles droits. Plus généralement, on appelle nombres de Pythagore trois nombres a, b et c vérifiant a2 + b2 = c2. Et voici comment on les trouve tous.

Il est évident que si a, b et c sont des nombres de Pythagore, alors pour tout entier p, pa, pb et pc sont aussi des nombres de Pythagore. Réciproquement si a, b et c sont des nombres de Pythagore, alors en les divisant par n'importe quel diviseur commun on retrouve de tels nombres. Ainsi, il suffit de chercher les nombres de Pythagore premiers entre eux, les autres s'en déduisant.
Supposons que a et b soient pairs. Alors a2 + b2 est aussi pair donc c2 est pair donc c est pair et alors a, b et c ne sont pas premiers entre eux (2 est un facteur commun), ce qui est faux. Donc a et b ne sont pas tous les deux pairs. Supposons qu'ils sont impairs : a = 2x+1 et b = 2y+1, pour x et y entiers. Alors c2 = 4x2 + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x2 + x + y2 + y) + 2 est pair. Donc c est pair. Mais alors c2 est divisible par 4, ce qui n'est pas le cas de 4(x2 + x + y2 + y) + 2, donc on en déduit par l'absurde que a et b ne sont pas impairs. Conclusion : parmi a et b, l'un des deux est pair et l'autre impair. Et alors c est aussi impair.
Dans la suite, on notera a le nombre pair et b le nombre impair.
Supposons que c + b et c - b ont un facteur commun k. Alors puisque a2 = c2 - b2 = (c - b)(c + b), a2 serait divisible par le carré de ce facteur donc a est divisible par k. Et puisque a est impair, k ne vaut pas 2. De plus, k divise (c + b) - (c - b) = 2b et, comme k est différent de 2, k divise b. De même, de (c + b) + (c - b) = 2c, on tire que k divise c. k est donc un facteur commun de a, b et c, ce qui est impossible. Ainsi c + b et c - b n'ont pas de facteur commun.
Mais quand le produit de deux nombres premiers entre eux est un carré parfait (ici a2), alors ces deux nombres sont aussi des carrés parfaits. D'où c + b = m2 et c - b = n2, avec m et n entiers. en résolvant ce système, on a c = (m2 + n2)/2 et b = (m2 - n2)/2 puis a = mn.
a étant impair, m et n le sont aussi. De plus, ils sont premiers entre eux (car s'ils avaient un diviseur commun, ce serait aussi un diviseur de a, b et c vu les formules exprimant a, b et c en fonction de m et n).
Réciproquement, il est facile de vérifier que des nombres de cette forme sont de Pythagore.

Les nombres de Pythagore sont donc, à facteurs communs près, de la forme mn, (m2 - n2)/2 et (m2 + n2)/2 avec m et n impairs premiers entre eux. Voici tous les triplets de nombres de Pythagore inférieurs à 100 et premiers entre eux :
Pour (m,n) = (3,1) : 3, 4 et 5
Pour (m,n) = (5,1) : 5, 12 et 13
Pour (m,n) = (7,1) : 7, 24 et 25
Pour (m,n) = (9,1) : 9, 40 et 41
Pour (m,n) = (11,1) : 11, 60 et 61
Pour (m,n) = (13,1) : 13, 84 et 85
Pour (m,n) = (5,3) : 15, 8 et 17
Pour (m,n) = (7,3) : 21, 20 et 29
Pour (m,n) = (11,3) : 33, 56 et 65
Pour (m,n) = (13,3) : 39, 80 et 89
Pour (m,n) = (7,5) : 35, 12 et 37
Pour (m,n) = (9,5) : 45, 28 et 53
Pour (m,n) = (11,5) : 55, 48 et 73
Pour (m,n) = (13,5) : 65, 72 et 97
Pour (m,n) = (9,7) : 63, 16 et 65
Pour (m,n) = (11,7) : 77, 36 et 85

En revanche, il n'existe plus d'entiers vérifiant an + bn = cn si n est plus grand que 2 : c'est le théorème de Fermat-Wiles.

Source :
Oh, les Maths !, Yakov Perelman, Dunod, 2001