Pourquoi une feuille de papier A4 mesure-t-elle 21 cm sur 29,7 cm ?
La première raison est que le rapport des deux côtés doit être de racine(2). Ceci n'est pas une idée comme ça, c'est une vraie nécessité pour faire des reproductions. Par exemple, si vous voulez faire une photocopie d'une feuille A3 en réduisant pour tenir sur un A4, il faut bien que sur les deux feuilles, le rapport entre les deux côtés soit le même. C'est en fait le même problème que pour les écrans : si vous regardiez un film 16/9 sur un écran 4/3 en remplissant tout l'écran, l'image serait déformée, d'où la présence des deux bandes noires. Pour que la réduction et l'agrandissement soit possibles sans perte de place, les feuilles doivent avoir le même rapport des côtés...
L'autre exigence, plus arbitraire, est qu'une feuille A3 s'obtient en accolant deux feuilles A4 par le grand côté (cette exigence est aussi pratique : elle permet d'obtenir facilement un format à partir des autres). Ces deux exigences imposent d'avoir un rapport de racine(2). En effet avec le dessin ci-contre, le problème se traduit par :
AD/AB = AC/AD. Si on pose AB = 1 (et donc AC = 2) on a AD = 2/AD soit AD2 = 2 d'où AD = racine(2) et donc AD/AB = racine(2).
Pour qu'on ait le même rapport entre les côtés sur la feuille A4 et la feuille A3, ce rapport doit donc valoir racine(2). A présent, pourquoi ne pas avoir des côtés de 10 cm et de 14,14 cm ?
On a défini, arbitrairement (à moins que ce ne soit pour simplifier les calculs des tarifs du papier ?), qu'une feuille de format A0 (format de base) devait avoir une aire d'un mètre carré. Si on appelle x le petit côté d'une feuille A4, son grand côté vaut racine(2)x.
Son aire est donc racine(2)x2. L'aire de la feuille A3 est 2.racine(2)x2 ; celle de la feuille A2 est 4.racine(2)x2 ; celle de la feuille A1 est 8.racine(2)x2 et celle de la feuille A0 vaut 16.racine(2)x2. On a donc 16.racine(2)x2 = 1 (si x est en mètres)
Cela donne x = 0,210224104 m soit x = 21 cm. La feuille A4 mesure donc 21 cm sur 21.racine(2) soit 29,7 cm.