Il existe un moyen de déterminer deux nombres en connaissant leurs produit et leur somme. Cependant, il n'est accessible qu'aux élèves à partir de la première car il faut savoir résoudre une équation du second degré. Si a+b = S et ab = P, alors a et b sont les deux solutions de l'équation x2 - Sx + P = 0.
Si le discriminant est positif, l'équation a deux solutions : ce sont les valeurs a et b. Cependant, sans autres indications sur a et b, on ne peut pas déterminer quelle solution vaut a et quelle solution vaut b.
Si le discriminant est nul, l'équation n'a qu'une solution, les deux nombres a et b valent cette solution.
Si le discriminant est négatif, il n'existe aucun couple de nombres réels ayant la somme et le produit donnés (mais, si vous connaissez, il existe des nombres complexes qui conviennent).

Preuve : l'équation « x² - (a+b)x + ab = 0 » équivaut à « (x-a)(x-b) = 0 » et a donc pour solutions a et b.

Exemples :
1) Cherchons deux nombres dont la somme vaut -7 et le produit vaut -8. S'ils existent, ils sont solutions de l'équation x2 - (-7)x + (-8) = 0, c'est-à-dire x2 + 7x - 8 = 0. Le discriminant vaut 81 donc l'équation a deux solutions. Ces solutions sont -8 et 1. On a donc deux possibilités : soit a = -8 et b = 1 soit a = 1 et b = -8.

2) Cherchons deux nombres dont la somme vaut -16 et le produit vaut 64. S'ils existent, ils sont solutions de l'équation x2 + 16x + 64 = 0. Le discriminant vaut 0. L'équation n'a qu'une solution. Elle vaut -8. On en déduit que a et b valent tous les deux -8.

Pour utiliser cette astuce : problème n°6 : l'échelle.

Il existe une autre méthode moins rapide, mais qui a le mérite d'être accessible dès la troisième. Vous connaissez la somme S' et la produit P' de deux nombres inconnus. Il vous suffit d'appliquer la formule (x - y)2 = S'2 - 4P'. Elle est très simple à démontrer : (x + y)2 - 4xy = x2 + y2 + 2xy - 4xy = x2 + y2 - 2xy = (x - y)2. Une fois la formule appliquée, vous connaissez (x + y) et (x - y). Cela vous donne un système à deux inconnues très facile à résoudre.
Reprenons les exemples précédents :
1) x + y = -7 et xy = -8 donc (x - y)2 = 49 + 4*8 = 81. On en tire x + y = -7 et soit x - y = 9 soit x - y = -9. D'où les solutions : soit x = 1 et y = -8 soit x = -8 et y = 1.
2) x + y = -16 et xy = 64 donc (x - y)2 = (-16)² - 4*64 = 0. On en tire x + y = -16 et x - y = 0. Il n'y a qu'une possibilité : x = y = -8.