Le coin des amatheurs version 2
Voici des formules que j'ai calculées. Elles sont valables pour tout entier naturel. Elles sont sous leur forme la plus factorisée possible. Elles se démontrent facilement par récurrence, la seule difficulté étant la longueur des calculs.
0 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
0 + 1 + 22 + ... + n2 = n(2n + 1)(n + 1)/6
0 + 1 + 23 + ... + n3 = n2(n + 1)2/4
0 + 1 + 24 + ... + n4 = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n - 1)/30
0 + 1 + 25 + ... + n5 = n2(n + 1)2(2n2 + 2n - 1)/12
0 + 1 + 26 + ... + n6 = n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 - 3n + 1)/42
0 + 1 + 27 + ... + n7 = n2(n + 1)2(3n4 + 6n3 - n2 - 4n + 2)/24
0 + 1 + 28 + ... + n8 = n(n + 1)(2n + 1)(5n6 + 15n5 + 5n4 - 15n3 - n2 + 9n - 3)/90
0 + 1 + 29 + ... + n9 = n2(n + 1)2(2n6 + 6n5 + n4 - 8n3 + n2 + 6n - 3)/20
0 + 1 + 210 + ... + n10 = n(n + 1)(2n + 1)(3n8 + 12n7 + 8n6 - 18n5 - 10n4 + 24n3 + 2n2 - 15n + 5)/66
Comment trouve-t-on ces formules ? Comment calcule-t-on 0 + 1 + 2k + ... + nk, pour tout k ?
La première chose à faire est de trouver un polynôme P de degré k+1, tel que P(1) = 0 et pour tout n entier, P(n+1) - P(n) = nk.
Trouver un tel polynôme est toujours possible, mais je ne le démontrerai pas ici (parce que la démonstration est de niveau bac+1). On aura alors :
1 + 2k + ... + nk = (P(2) - P(1)) + (P(3) - P(2)) + ... + (P(n) - P(n-1)) + (P(n+1) - P(n))
= - P(1) + (P(2) - P(2)) + (P(3) - P(3)) + ... + (P(n) - P(n)) + P(n+1)
= - P(1) + P(n+1) = P(n+1).
On a donc la somme cherchée en calculant P(n+1).
Exemple pour la somme des carrés :
On doit chercher un polynôme de degré 3 : P(n) = an3 + bn2 + cn + d.
Alors P(n+1) = a(n3 + 3n2 + 3n + 1) + b(n2 + 2n + 1) + c(n+1) + d
= an3 + (3a + b)n2 + (3a + 2b + c)n + (a + b + c + d)
Donc P(n+1) - P(n) = 3an2 + (3a + 2b)n + (a + b + c).
Cette différence devant être égale à n2, on a : 3a = 1, 3a + 2b = 0 et a + b + c = 0.
Alors a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6 donc P(n) = (2n3 - 3n2 + n)/6 + d.
Pour avoir P(1) = 0, on doit avoir d = 0. Donc P(n) = (2n3 - 3n2 + n)/6.
Finalement, 0 + 1 + 22 + ... + n2 = P(n+1) = (n+1)(2(n+1)2 - 3(n+1) + 1)/6
= (n+1)(2n2 + 4n + 2 - 3n - 3 + 1)/6
= (n+1)(2n2 + n)/6
= n(n+1)(2n+1)/6
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