Comment résoudre un système de n inconnues dans lequel vous avez n équations, chacune étant la somme des puissances des inconnues (par exemple pour n = 2, vous avez a + b et a2 + b2) ? C'est possible, mais pas toujours simple !
La première chose à faire est d'écrire une nouvelle équation (qu'on nommera E) sous la forme : (X-a)(X-b)....(X-z) = 0, où a, b, ..., z, sont vos n inconnues. Cette équation E est une équation du n-ième degré, relativement à X. Commencez par développer cette équation. Vous allez alors voir apparaître de nombreux termes relatifs à vos inconnues : des sommes (a + b + ... + z), des produits (ab...z), et des mélanges (a²bc...z), ainsi que les sommes des puissances jusqu'à n des inconnues. Vous pouvez alors remplacer ces sommes par leurs valeurs que vous connaissez.
Il reste à remplacer les autres expressions par leurs valeurs, et c'est ici que les choses se corsent : vous allez devoir les exprimer en fonction des sommes de puissances. C'est possible, mais très difficile et long ! Heureusement, il y a une méthode : vous devez élever votre première équation (a + b + .. + z = ...) à toutes les puissances jusqu'à n, développer, et vous retrouverez les expressions voulues, en arrangeant bien les équations. Mais pour tout cela, pas de formule : il faut tâtonner (en fait il y a des formules, mais elles sont horribles !).
Une fois que vous avez tout calculé, vous avez tous les coefficients de l'équation E. Il vous reste à la résoudre (ce qui peut également devenir compliqué !). Les n valeurs de X que vous trouvez correspondent à vos n inconnues (car l'équation E est (X-a)(X-b)...(X-z) = 0).
Cette méthode fonctionne, mais vous avez pu constater qu'elle nécessite beaucoup de calculs, souvent complexes. Ci-dessous, je vous montre des exemples pour clarifier les choses. Pour n = 2, l'équation est très simple, vous allez voir. Pour n = 3, vous constaterez que les choses se corsent déjà énormément, pour trouver les coefficients. A partir de n = 4, je ne vous en parle plus... !

Exemple 1
Résoudre : a + b = S et a2 + b2 = T, où S et T sont donnés.
L'équation E est ici : (X-a)(X-b) = 0, soit X² - (a + b)X + ab = 0. On connaît a + b, mais pas ab. Pour cela, on élève a + b au carré :
a + b = S donc (a + b)2 = S2, soit a2 + b2 + 2ab = S2. Or a2 + b2 = T, donc ab = (S2 - T)/2.
E devient alors : X2 - SX + (S2 - T)/2 = 0. On résout l'équation en X, et on trouve a et b.
Pour S = 2 et T = 4, on a E : X2 - 2X = 0, donc X = 0 ou X = 2. 0 et 2 sont les valeurs de a et b. (on vérifie : 0 + 2 = 2 et 02 + 22 = 4)

Exemple 2
Résoudre : a + b + c = 6 ; a2 + b2 + c2 = 14 ; a3 + b 3 + c3 = 36
(x - a)(x - b)(x - c) = (x - a)(x2 - (b + c)x + bc) = x3 - (b + c)x2 + bcx - ax2 + a(b + c)x - abc = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc.
D'où E : x3 - 6x2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0.
Cherchons ab + bc + ac en élevant la première équation au carré :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) donc ab + bc + ac = ((a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2))/2 = (62 - 14)/2 = 11
Alors E : x3 - 6x2 + 11x - abc = 0. Et pour avoir abc, on élève au cube :
(a + b + c)3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac))
= a3 + ab2 + ac2 + 2a(ab + bc + ac) + ba2 + b3 + bc2 + 2b(ab + bc + ac) + ca2 + cb2 + c3 + 2c(ab + bc + ac)
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3 a2c + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3ac2 + 6 abc
= a3 + b3 + c3 + 3(ab + bc + ca)(a + b + c) - 3abc
En remplaçant par ce qu'on a déjà : 216 = 36 + 3x11x6 - 3abc, donc abc = 6.
L'équation E devient alors : x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0. On résout cette équation (voir résolution des équations du troisième degré) : on trouve 1, 2 et 3.