La rsolution des quations du troisime degr est assez complexe car on ne connat aucune formule donnant directement les trois ventuelles solutions, contrairement au second degr. Toutefois, on en connat une donnant une solution (voir plus bas). Une autre difficult vient du fait que pour rsoudre ces quations, il a fallu attendre l'apparition des nombres complexes. Il est donc utile, pour les rsoudre, de savoir manipuler les complexes (programme de terminale).
La premire tape consiste trouver une solution de l'quation. Bien souvent, le mieux est de trouver une « solution vidente » : une solution souvent simple, 0, 1, 2 ou -1 par exemple. Ainsi, l'quation x3 + 2x2 - 5x + 2 = 0 admet 1 comme solution vidente. Si on ne trouve pas de solution vidente, on pourra utiliser la formule ci-dessous. Si l'quation n'est pas du type demand par cette formule, il faut la modifier. Si votre quation commence par « x3 + mx2 + ... », notez « x = y - m/3 », remplacez dans l'quation et dveloppez. Les x2 vont disparatre et vous pourrez appliquer la formule ci-dessous pour avoir une premire solution.

Une fois une solution « a » trouve, on peut factoriser le polynme par (x-a). Pour cela, dveloppez l'expression « (x-a)(x2 + bx + c) », et identifiez les coefficients que vous trouvez ceux de l'quation du troisime degr. Ainsi, on se ramne une quation du second degr qu'il est simple de rsoudre.

Formule gnialeQuelle est donc cette formule dont je vous parle depuis cinq minutes ? Cette formule est dite de Tartaglia-Cardan, mais certains pensent que Cardan l'a demande Tartaglia pour la publier sous son nom. Cette formule permet de trouver une solution particulire aux quations de la forme : x3 = px + q. La solution est donne par la formule ci-contre. On notera que si les nombres sous les racines sont ngatifs, on utilisera les notations complexes, la formule restant alors valable.
La dmonstration n'est pas trs difficile, mais ne peut tre crite en format html cause des nombreux symboles mathmatiques. C'est pourquoi je vous propose de la tlcharger en format PDF, compress avec Microsoft Winzip : formuletartacardan.zip, 52 Ko (si vous ne possdez pas le logiciel Acrobat Reader ou Winzip, allez sur la page de liens).

Exemple de rsolution :
On veut rsoudre l'quation 2x3 + 12x2 - 96x - 602 = 0.
1) On se ramne une quation de la forme de la formule de Tartaglia-Cardan : on doit d'abord avoir le coefficient 1 devant x3 donc on divise l'quation par 2 : x3 + 6x2 - 48x - 301 = 0. On a un membre x2 avec comme coefficient 6. On pose donc x = y - 6/3, soit x = y - 2. Alors (y-2)3 + 6(y-2)2 - 48(y-2) - 301 = 0, soit en dveloppant et en simplifiant : y3 = 60y + 189.
2) On utilise la formule de Tartaglia-Cardan : on a ici p = 60 et q = 189. La formule donne donc la solution y = (189/2 + racine((189/2)2-(60/3)3))1/3 + (189/2 - racine((189/2)2-(60/3)3))1/3 = (94,5 + racine(94,52 - 203))1/3 + (94,5 - racine(94,52 - 203))1/3 = (94,5 + racine(8930,25 - 8000))1/3 + (94,5 - racine(8930,25 - 8000))1/3 = (94,5 + racine(930,25))1/3 + (94,5 - racine(930,25))1/3 = (94,5 + 30,5)1/3 + (94,5 - 30,5)1/3 = 1251/3 + 641/3 = 5 + 4 = 9. On peut d'ailleurs vrifier que 93 - 60x9 - 189 = 729 - 540 - 189 = 0. 9 est donc bien solution de l'quation en y.
3) On factorise : on doit avoir y3 - 60y - 189 = (y-9)(y2 + by + c). En dveloppant le ct droit, on obtient y3 - 60y - 189 = y3 + (b-9)y2 + (c-9b)y - 9c. Ds lors, on doit avoir (b-9) = 0, c-9b = -60 et -9c = -189. Finalement, b = 9 et c = 21, soit y3 - 60y - 189 = (y-9)(y2+9y+21).
4) On a une quation du second degr, qu'on rsout comme d'habitude avec le discriminant : les deux autres solutions sont donnes par y2+9y+21 = 0, quation de discriminant 92 - 4x1x21 = -3. D'o deux solutions complexes : (-9 + i.racine(3))/2 et (-9 - i.racine(3))/2.
5) On conclut : y est donc dans l'ensemble {-4,5 + i.racine(3)/2 ; -4,5 - i.racine(3)/2 ; 9}. Or x = y - 2, donc les solutions de l'quation de dpart sont {-6,5 + i.racine(3)/2 ; -6,5 - i.racine(3)/2 ; 7} (vous pouvez vrifier...).