Les trois problèmes grecs, parfois aussi appelés problèmes de l'Antiquité, ont été formulés par les mathématiciens grecs. Ils portent tous sur la géométrie, branche des mathématiques la plus développée à l'époque. Plus précisément, ils concernent les constructions à la règle et au compas.
Une construction est dite « à la règle et au compas » si on peut la réaliser en un nombre fini d'étapes utilisant uniquement une règle (sous-entendue non graduée) et un compas. On se restreint donc à n'utiliser que des droites ou segments et des reports de longueur au compas. Par exemple on apprend au collège qu'il est possible de tracer une médiatrice de cette manière ou de construire un parallélogramme à partir de trois points donnés. Il est également possible de tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point donné (sans équerre, donc !). Les Grecs antiques se sont ainsi demandés s'il était également possible de réaliser de cette manière la duplication du cube, la quadrature du cercle et la trisection de l'angle...

La duplication du cube est un problème de géométrie spatiale (en dimension 3), contrairement aux deux autres qui concernent la géométrie plane (dimension 2). Etant donné un cube, il consiste à construire un cube dont le volume est exactement le double. Ce problème fait partie d'une légende sur la ville de Délos. On dit que la ville fut frappée par la peste. L'oracle de Delphes informa alors les prêtres que l'épidémie cesserait s'ils doublaient l'autel d'Apollon, un cube parfait. La première idée des prêtres fut donc de construire un autre autel en doublant son côté. Mais ce faisant, le volume de l'autel fut multiplié par 8, or la volonté de l'oracle était de doubler le volume lui-même, et non le côté...
La légende ne dit pas si les prêtres parvinrent à stopper l'épidémie... On peut en revanche analyser algébriquement ce problème. Notons a le côté du cube à doubler. Son volume est donc de a3. Il s'agit donc de trouver un cube de volume 2a3. Son arête doit donc valoir la racine cubique de 2a3, soit la racine cubique de 2 multipliée par a. En bref, le côté du cube doit être multiplié par la racine cubique de 2. Géométriquement, ce problème se ramène donc à construire un segment dont la longueur serait la racine cubique de 2. On a démontré en 1837 que ce n'est pas possible, sous-entendu sous les conditions des grecs, c'est-à-dire à la règle et au compas (c'est en revanche possible avec des outils plus complexes).

La quadrature du cercle est assez proche du problème précédent puisqu'elle concerne les aires. Etant donné un cercle, le problème est de construire un carré ayant la même aire. Si r est le rayon du cercle, son aire est de r2pi. Il faut donc trouver un carré d'aire r2pi. La côté de ce carré doit donc être la racine carrée de r2pi, soit r multiplié par la racine carrée de pi. Le problème revient donc cette fois à construire un segment dont la longueur est la racine de pi.
En 1647, Grégoire de Saint-Vincent publia quatre solutions différentes à ce problème... et elles étaient erronées ! En fait, on a montré en 1882 que ce problème est également impossible, principalement parce que pi est transcendant (aucun polynôme à coefficients rationnels ne s'annule en pi). Là encore, il existe des solutions avec d'autre outils que la règle et le compas. Et même avec règle et compas, il existe d'assez bonnes approximations (notamment une qui utilise le nombre d'or).

Un autre chose que l'on apprend au collège avec une règle et un compas est le tracé de la bissectrice d'un angle, c'est-à-dire la droite qui le partage en deux angles égaux (cette construction repose sur des triangles isocèles). La trisection de l'angle demande de franchir un pas : séparer un angle donné en trois angles égaux. Et surprise... c'est encore impossible ! Et la preuve de cette impossibilité repose en fait sur les mêmes théorèmes que les deux problèmes précédents. Notons qu'avec une règle graduée, il existe en fait une solution assez simple (dans une prochaine mise à jour du site : abonnez-vous à la newsletter pour ne pas la rater !).

Ces trois problèmes sont donc du même genre : construction à la règle et au compas. De plus, on sait maintenant qu'ils sont tous trois impossibles, et les trois preuves reposent sur les mêmes arguments, assez complexes par ailleurs (il a fallu attendre l'algèbre du XIXème siècle). Trois histoires mathématiques très proches donc, ce qui explique qu'on les associe aussi souvent !
Il est également remarquable que, bien que leur impossibilité soit désormais prouvée, les Académies de sciences reçoivent toujours régulièrement des propositions de solutions, surtout pour la quadrature du cercle...