« Il est vrai que certains philosophes prtendent que la mathmatique n'est pas vritablement une science et qu'elle relve plutt de la philosophie, pour la raison, dit-on, qu'en mathmatique on n'a pas se confronter avec le monde rel. Je ne sais si une telle vision implique un jugement flatteur sur la philosophie, mais je me rserve de discuter de son bien-fond concernant les mathmatiques. L'on pourrait aussi dfendre la thse selon laquelle les mathmatiques relvent plutt de l'art, et pour ma part je trouve qu'il y a une part de vrit dans cette faon de voir. Une thorie mathmatique bien faite inspire en effet un sentiment esthtique, comme une belle construction en architecture ou en musique ; de plus, il est certain que les qualits esthtiques d'une belle thorie en facilitent la diffusion et la rendent apte une utilisation efficace. Cependant, vouloir rduire les mathmatiques une branche de la philosophie ou une manifestation d'ordre purement artistique serait mconnatre leur vritable nature, et le mathmaticien qui cherche sait bien que l'essentiel de sa dmarche est d'un autre ordre.
   Le mathmaticien sent plus ou moins confusment qu'il est la recherche d'une ralit cache qui refuse de se dvoiler du premier coup. Il lui faut, sans se laisser dcourager par des tentatives infructueuses, persvrer en se livrant ce que j'appellerai des expriences varies, jusqu'au moment bni o il dcouvrira tout coup ce qu'il cherchait, ou parfois ce quoi il ne s'attendait pas du tout. Quelle est donc cette ralit que le mathmaticien poursuit sans cesse de ses efforts et qu'il n'a jamais fini de dcouvrir entirement ? La mathmatique serait-elle une science exprimentale ? Certains seront peut-tre tonns ou choqus de m'entendre parler de recherche exprimentale, alors qu'il est universellement admis que les mathmatiques sont une construction qui ne repose que sur la logique et qu' partir du moment o les raisonnements sont corrects, les conclusions sont assures, du moins si l'on s'est pralablement mis d'accord sur le point de dpart, c'est--dire sur les axiomes. Loin de moi l'ide de vouloir minimiser l'importance du raisonnement logique : il est l'outil indispensable et unique. Mais ce n'est qu'un outil. Confondre cet outil avec l'objet mme de la recherche mathmatique serait, mon avis, aussi erron que de confondre, en physique, la recherche des lois de la nature avec la mise au point d'instruments plus ou moins perfectionns. La construction des instruments n'est pas le but ultime du physicien ; ce n'est qu'un outil pour la dcouverte. Il en est de mme en mathmatique : on y fabrique, l'aide de la pure logique, des outils de plus en plus perfectionns, qui s'appellent des thories, dont le but ultime est d'aider dcouvrir de nouveaux phnomnes, des lois nouvelles. Et de mme que certaines lois de la biologie molculaire ont pu tre dcouvertes avec l'aide du microscope lectronique (instrument qui lui-mme n'a pu tre conu et ralis que grce la connaissance de lois plus ou moins caches de la physique), de mme certaines lois de la thorie des nombres n'ont pu tre dcouvertes, c'est--dire prouves, qu'avec l'aide du puissant outil qui s'appelle, en mathmatique, la thorie des faisceaux et de la cohomologie. Cet exemple montre en outre qu'un outil mathmatique bien conu peut avoir des applications dans un domaine des mathmatiques tout diffrent de celui qui a permis de le concevoir. Il s'agit l d'un fait essentiel pour le dveloppement de notre science : vouloir dcouper les mathmatiques en morceaux spars les uns des autres par des cloisons tanches ne peut conduire qu' la strilit. Et voil pourquoi il faut sans cesse lutter contre la spcialisation excessive, voil pourquoi nous aimons parler de l'unit de la mathmatique.
   Mais je m'aperois que je n'ai pas encore dfini explicitement le vritable objet de la recherche mathmatique. Je n'ai pas dit quelle est cette ralit, indpendante de nous, que nous nous efforons de dcouvrir et qui, lorsque nous en avons saisi quelques bribes, nous permet de mieux comprendre que chaque dcouverte soulve de nouveaux problmes et que notre recherche est sans fin. [...] Cette ralit que nous poursuivons, elle est pour le mathmaticien le « monde rel » auquel il se trouve confront et dont il n'est pas matre. Si cette ralit n'existait pas, si les mathmatiques n'taient qu'un jeu un peu vain et gratuit, comment pourrait-on expliquer qu'elles puissent servir avec efficacit les autres sciences ? La ralit mathmatique est une inconnue dont nous dcouvrons des lambeaux ; ce qui nous est encore cach est imprvisible, ou du moins n'est pas prvisible long terme. »

Source :
Discours d'Henri Cartan prononc en 1977 lors de la remise de la mdaille d'or du CNRS