On appelle relation d'ordre sur un ensemble une relation par exemple notée < servant à comparer les élements de cet ensemble et vérifiant trois choses :
- D'abord si a < b et b < c, alors a < c (c'est ce qu'on appelle la transitivité)
- Ensuite si a < b et b < a alors a = b (c'est l'antisymétrie)
- Enfin, pour tout élément x, x < x (réflexivité).
Ainsi, « être plus grand » si on le prend au sens large (c'est-à-dire qu'on considère que 5 est plus grand que 5) est une relation d'ordre sur l'ensemble des personnes : si Jean est plus grand que Paul qui est plus grand que moi, alors Jean est plus grand que moi ; si en plus Paul est plus grand que Jean alors ils ont en fait la même taille ; je suis quant à moi plus grand que moi-même (au sens large). De même, la divisibilité (on dit que a divise b si b est égal au produit de a par un certain entier) est une relation d'ordre des entiers, différente de celle qu'on utilise habituellement.
Tout ceci pour vous faire réfléchir sur les notions d'élément maximal et de plus grand élément : je suis un élément maximal d'un ensemble s'il n'y en a pas de plus grand que moi et je suis un plus grand élément d'un ensemble si je suis plus grand que tous les autres. Que pensez-vous de ces deux notions ? Coïncident-elles ?

Vous dites oui ? C'est effectivement très intuitif, mais c'est faux ! Si je suis le plus grand élément, je suis effectivement maximal, mais la réciproque est fausse : ce n'est pas parce que personne n'est au-dessus de moi que je suis au-dessus de tout le monde ! Imaginez cette situation : je dirige avec un ami une entreprise. Il y a nous deux, qui contrôlons à égalité les employés, et ces employés qui nous obéissent. Alors « être plus haut dans la hiérarchie » est bien une relation d'ordre dans notre entreprise : vous pouvez vérifier facilement qu'elle vérifie les trois conditions. Quant à moi, dans cette affaire, je suis un élément maximal : personne n'est plus haut que moi dans la hiérarchie. Cependant à cause de mon ami que je ne dirige pas, je ne suis pas un plus grand élément !

Si vous voulez vous compliquer les choses, voici une notion plus délicate (à ne lire que si vous avez compris ce qui précède). Le plus grand élément ou les éléments maximaux d'un ensemble sont dans cet ensemble (par exemple, je travaille bien dans l'entreprise). Il existe des ensembles qui n'ont ni plus grand élément ni élément maximal, par exemple l'ensemble des entiers (et oui, donnez moi n'importe quel nombre, je vous en donnerai un plus grand !). Cependant, certains d'entre eux ont une « borne supérieure » : c'est un élément plus grand que tous les autres (sans être forcément dans l'ensemble) mais tel qu'aucun élément plus petit n'est encore plus grand que tous les autres (oui, c'est compliqué). Exemple :
Je considère l'ensemble R des réels et à l'intérieur de R, l'ensemble A des nombres strictement inférieurs à 1 (inférieurs à 1 et différents de 1). Alors si je prend un élément x de A, soit y la moyenne de x et 1. Alors y est encore strictement inférieur à 1 donc il est dans A. Cependant, y est aussi strictement plus grand que x, ce qui montre que x n'est pas un élément maximal de A (il y en a des plus grands, par exemple y). Puisque j'ai pris x au hasard dans A, cela signifie que A n'a absolument aucun élément maximal ! De la même façon, on montre qu'il n'a pas de plus grand élément. Cependant, 1 est plus grand que tous les éléments de A. De plus, si je prend s dans A, alors s ne vérifie plus cette propriété (la moyenne de s et 1 est un élément de A plus grand que s : s n'est pas plus grand que tous les éléments de A). Cela signifie que 1 est une borne supérieure de A ! Et vous voyez bien qu'il n'est pas lui-même dans A.