De nos jours, on apprend en primaire poser une division. Mais une poque, on apprenait aussi calculer les racines carres la main ! Voici donc comment faire si vous n'avez pas de calculatrice.
1 - Description de l'algorithme
2 - Exemples
3 - Preuve de l'algorithme
4 - Les btons de Napier

Avant tout, tracez deux traits comme pour une division. En haut gauche, la place du dividende dans la division, placez le nombre N dont vous voulez la racine. La place en haut droite, qui dans une division contient le diviseur, contiendra la racine carre. La premire chose faire est de sparer N en tranches de 2 chiffres en partant de la droite (il se peut donc que la tranche la plus gauche n'ait qu'un chiffre).
Premire tape : Cherchez le plus grand chiffre dont le carr soit infrieur la premire tranche. Par exemple si cette tranche est 12, ce sera 3 (puisque 32 = 9 mais 42 = 16). Ce chiffre sera le premier de la racine carre donc inscrivez-le gauche la place du diviseur. Puis, un peu comme dans la division, soustrayez le carr de ce chiffre N, ce qui nous donne un premier reste. Abaissez aprs ce reste la tranche de chiffres suivante (comme dans la division, mais avec 2 chiffres).
Etapes suivantes (en boucle) : vous avez fait un certain nombre d'tapes. Vous avez un reste gauche (dans lequel vous venez d'abaisser une tranche) et le dbut de la racine carre en haut droite (qui contient en fait autant de chiffres que d'tapes dj faites). Multipliez par 2 ce nombre (le rsultat est M). Cherchez alors le plus grand chiffre a tel que Ma multipli par a soit infrieur au reste inscrit gauche (par exemple si ce reste est 334 et si M vaut 6, vous cherchez le plus grand a tel que 6a x a soit infrieur 334 ; or 65 x 5 = 325 et 66 x 6 = 396 donc a = 5). a est un nouveau chiffre de la racine donc vous pouvez l'inscrire en haut droite. Ensuite, soustrayez le produit obtenu (dans l'exemple prcdent 325) au reste inscrit gauche, pour trouver le nouveau reste. Vous n'avez plus qu' abaisser une nouvelle tranche et recommencer l'tape !
Notez que la premire tape est en fait la mme que cette tape rpte, avec M = 0 et la premire tranche de N comme reste.
Fin de l'algorithme : il se peut que vous ayez abaiss toutes les tranches, pour finir sur un reste nul. Dans ce cas, le nombre en haut droite est exactement la racine carre de N. Il se peut aussi que vous ayez abaiss toutes les tranches avec un reste r non nul. Dans ce cas, le nombre n en haut droite est la partie entire de la racine de N, et en fait N = n2 + r. Mais en ce cas, vous pouvez en fait continuer l'algorithme, pour avoir la partie dcimale de la racine carre. Pour cela, faites comme dans une division : placez une virgule ct de la « racine actuelle » puis abaissez tant que voulez des tranches de 0 ct des restes successifs...

Source :
Des trucs et des maths