On note f(a,n) le nombre de fois qu'un facteur premier a apparaît dans la décomposition d'un entier n. Par exemple, puisque 200 = 23x52, on a f(2,200) = 3, f(5,200) = 2 et pour tout autre nombre premier a, f(a,200) = 0. Maintenant plus difficile : Si je prend un entier n, que vaut f (a,n!) ? Je rappelle que n! désigne « n factoriel », c'est-à-dire le produit 1 x 2 x 3 x ... x n. Ce nombre est si grand qu'il sera long et fastidieux de le décomposer entièrement pour calculer les facteurs ! Y aurait-il une formule ?

Oui, il y en a une. Vous pouvez la découvrir ici : diviseurs.pdf. Si vous n'avez pas de logiciel pour lire les PDF, allez sur la page de liens.
La formule est accessible à tous mais la compréhension de la démonstration nécessite des connaissances de lycée.
Pour appliquer cette formule, essayez ce problème.