Note : la correction de l'ensemble du sujet est disponible dans le club des amatheurs
Comment s'en tirer au qcm du bac, sans savoir ses formules ? Voyons ça sur l'énoncé national de 2004 :
1) La bonne droite doit passer par S. Les droites A et B ne passent pas par S, la droite C passe par S (avec t = 0) et la droite D aussi (avec t = -1). La réponse est donc soit C soit D. Sans les formules, on ne pourra pas savoir laquelle est perpendiculaire à P, laissons donc cet indice de côté, nous aurons la réponse plus tard.
2) H doit appartenir au plan P, donc on teste chacune des propositions. Seules A et D conviennent. Pour savoir laquelle est bonne, on doit tester si elles appartiennent à la droite D, sachant qu'on a pour celle-ci deux équations possibles. Or pour les deux équations possibles (1C et 1D), la proposition A n'est pas sur la droite. Finalement, la réponse est D.
En bonus, on peut alors trouver la réponse à la question 1 : la bonne droite doit contenir H, dont on connaît à présent les coordonnées. Seule la proposition D convient (avec t = -14/11).
3) On ne connaît pas la formule pour la distance d'un point à un plan ? Voyons : la droite D est perpendiculaire à P qu'elle coupe en H, et S est sur D. La distance de S au plan P est donc simplement la distance SH, simple à calculer. Après calcul, la réponse est B.
4) Regardons déjà si le point I dont on nous parle est dans l'intersection. I est bien dans le plan P (on vérifie avec les coordonnées) et la distance IS vaut 3, donc I est sur la sphère. I est donc bien dans l'intersection. On se convainc avec un dessin qu'il n'est pas seul et on peut éliminer la réponse A. De plus, S n'est pas dans le plan P donc l'intersection ne peut être un cercle de centre S. On élimine la réponse C. Pour choisir entre B et D, seul le rayon change : les deux propositions nous parlent d'un cercle de centre H. Comment trouver son rayon ? Tout simplement, il s'agit de la distance HI, car on a vu que I est sur le cercle. Or HI² = 90/11 donc la bonne réponse est B.
Finalement, en n'utilisant que des calculs de distances et des vérifications de positions des points, on a résolu l'exercice : 1D 2D 3B 4B