La compréhension de cette page demande de connaître les nombres complexes ! Désolé si ça n'est pas votre cas !
Parmi les calculs avec les nombres complexes, il faut parfois extraire une racine carrée. Cela arrive par exemple pour résoudre une équation du quatrième degré, ou plus simplement du second degré ! Extraire la racine carrée de -4, c'est encore faisable (ce sera 2i ou -2i ; les élèves de terminale font ça très bien lorsqu'ils résolvent une équation avec le discriminant). Mais comment faire pour trouver une racine carrée de 3+4i ?

Soit donc z = x + iy le nombre dont on veut une racine. Celle-ci s'écrira a + ib. La première idée est de développer (a + ib)2 = a2 + 2iab - b2. On doit donc avoir a2 + 2iab - b2 = x + iy, d'où : a2 - b2 = x et 2ab = y. On trouve deux équations en les deux inconnues a et b qu'il suffit de résoudre pour avoir a + ib. Oui mais la présence des carrés dans la première équation rend ce système un peu compliqué !

Voilà donc une astuce pour améliorer l'idée. On considère d'abord le module de a + ib, soit racine(a2 + b2). En effet puisque (a + ib)2 doit valoir z, on obtient que le carré du module de a + ib doit être celui de z, c'est-à-dire : a2 + b2 = |z|.
On a toujours l'équation (provenant de la méthode précédente) a2 - b2 = x.
Ainsi en ajoutant ou en soustrayant les deux conditions, on obtient respectivement : 2a2 = |z| + x et 2b2 = |z| - x, à partir de quoi on peut calculer a et b !
Mais attention à quelque chose... A partir de a2 et b2, vous avez deux valeurs possibles pour a et deux pour b, soit 4 couples (a,b). Est-ce que tous conviennent ? Non, car il y a toujours l'équation 2ab = y. Si on ne l'a finalement pas utilisée pour trouver les valeurs de a et b (plus précisément de a2 et de b2), elle donne une condition sur leurs signes : si y est positif, a et b doivent être de même signe et si y est négatifs, ils doivent être de signes opposés !

Un exemple concret : cherchons une racine carrée de 3 + 4i. Elle s'écrit a + ib. Dès lors, 3 + 4i = (a + ib)2 = a2 + 2iab - b2, d'où a2 - b2 = 3 (1) et 2ab = 4 (2).
D'autre part, le module de 3 + 4i vaut racine(32 + 42) = 5 et donc le module de a + ib doit valoir racine(5). Cela donne racine(a2 + b2) = racine(5) et donc a2 + b2 = 5 (3).
Les équations (1) et (3) donnent en sommant 2a2 = 8 et donc a2 = 4 puis a = 2 ou a = -2. En remplaçant dans (2), on trouve respectivement b = 1 ou b = -1. On a donc trouvé deux racines : 2+i et -2-i !

Tiens, elles sont opposées l'une à l'autre : -2-i = -(2+i). Eh bien oui, comme pour les nombres réels, si z est une racine complexe de z' alors -z aussi (car (-z)2 = z2). Et en fait, comme pour les nombres réels chez qui un nombre positif avait exactement deux racines carrées, tout nombre complexe a deux racines carrées, opposées l'une à l'autre ! La méthode qu'on vient d'utiliser donne donc toutes les racines...
Au fait, quand je dis qu'un nombre positif a exactement deux racines carrées, vous n'êtes peut-être pas d'accord. Pour vous, la racine carrée de 25 est 5, et seulement 5... Vous avez raison car c'est ainsi qu'on a défini la fonction « racine carrée » : entre les deux réels tels que x2 = 25, on choisit celui qui est positif. De même avec les nombres complexes, puisque les deux racines carrées sont opposées, on pourrait par exemple choisir celle dont la partie réelle est positive ; ainsi on dirait que LA racine carrée de 3+4i est 2+i.
Pourquoi n'a-t-on pas fait ce choix, ou un autre du même genre ? Une première raison pratique est que, dans les nombres réels, vous avez la formule très pratique : racine(ab) = racine(a)racine(b). Mais avec les nombres complexes, quel que soit le choix qu'on pourrait faire pour définir une fonction racine carrée, on ne retrouverait pas cette formule (car sinon, on aurait -1 = racine(-1)racine(-1) = racine((-1)(-1)) = racine(1) = 1 !). Il y a aussi des raisons plus profondes, qui proviennent d'une théorie appelée « analyse complexe »...

Une application pratique : résolvons l'équation (8-8i)z2 + (8+8i)z +(-1-5i) = 0. C'est une équation du second degré, on va donc utiliser le discriminant (maintenant qu'on sait en calculer une racine carrée, la formule habituelle reste vraie !).
Ce discriminant vaut (8+8i)2 - 4(8-8i)(-1-5i) = 64 + 128i - 64 - 4(-8 - 40i + 8i - 40) = 128i + 32 + 160i - 32i + 160 = 192 + 256i = 64(3 + 4i)
Une racine de 3+4i est comme on l'a vu en exemple 2+i (on pourrait donc aussi prendre -2-i, la suite des calculs aboutirait au même résultat), donc une racine du discriminant est 8(2+i) = 16+8i.
Les deux solutions de l'équation sont donc : (-(8+8i) - (16+8i))/2(8-8i) et (-(8+8i) + (16+8i))/2(8-8i), soit (-24-16i)/(16-16i) et 8/(16-16i), ou encore (-3-2i)/(2-2i) et 1/(2-2i). On fait la division comme d'habitude avec la quantité conjuguée du dénominateur, et finalement on trouve les solutions (-1-5i)/4 et (1+i)/4.