Georg Friedrich Bernhard Riemann naît le 17 septembre 1826 à Breselenz (royaume de Hanovre) d'un père pasteur luthérien. C'est un élève appliqué mais trop perfectionniste (d'où de nombreux retards) et il développe déjà des problèmes d'expression. En 1840, il entre directement en troisième au Gymnasium (collège) de Hanovre. Mais sa grand-mère meurt en 1842 et la famille déménage. Il est alors inscrit au Gymnasium de Lüneburg, à 70 km de sa maison (il loge à Lüneburg chez un professeur d'hébreu). Les trajets fréquents, qu'il fait à pied en toute saison, auront de graves conséquences sur sa santé. Il étudie la théologie à Göttingen et s'inscrit à la faculté de philosophie. Mais il s'intéresse aux mathématiques et part à Berlin en 1847, élève de Jacobi et Lejeune-Dirichlet. En 1848, la révolution arrive à Berlin. Alors que ses amis sont démocrates, Riemann soutient les conservateurs et participe à la garde du château royal, ce qui n'affectera pas ses relations amicales.
Sous la pression de son père, il revient à Göttingen en 1949 pour préparer sa Dissertation inaugurale sur les fonctions d'une variable complexe en suivant l'enseignement de Gauss. Déjà dans cette étude, il définit ce qu'on appelle une surface de Riemann.
Il prépare en même temps le diplôme qui lui permettra de donner des cours particuliers. Il l'obtient en 1854 mais n'obtient pas de très bon travail. Cela le mettra en difficultés financières, d'autant plus qu'il doit se charger de ses trois soeurs après la mort de son père (1855) et de son frère Wilhelm (1857). Cet événement l'entraîne dans une profonde dépression, il est hypochondriaque. Soigné par son ami Dedekind, qui écrira plus tard sa première biographie et publiera en 1867 son mémoire sur les séries trigonométriques, il reprend le dessus et publie la même année un article où il approfondit la notion de surfaces de Riemann. En revanche, ses problèmes d'expression lui ferment les portes de l'école polytechnique de Zurich, Dedekind prenant le poste. Deux ans plus tard, il obtient la chaire de mathématiques de Göttingen. Cela lui sert de tremplin et en quelques jours, il est élu à l'Académie des Sciences de Berlin. Il y annonce dans son premier rapport sa conjecture sur les zéros de la fonction zêta.
En 1862, il se marie avec Elise Koch et a une fille Ida en décembre 1863. Mais sa santé se dégrade et il part en Italie pour trouver un meilleur climat. Il est accueilli par Enrico Betti qu'il a rencontré en 1858. C'est en Italie qu'il passera le plus de temps jusqu'à sa mort, publiant même un mémoire en italien (octobre 1863). Le 5 juin 1866, son état est très grave. Malgré la guerre entre la Prusse et l'Autriche, il retourne en Italie et arrive le 16 juin à Selasca, au bord du lac Majeur. Il y meurt d'une tuberculose le 20 juillet 1866.
Ses plus grands apports sont les sommes de Riemann et les surfaces de Riemann, en rapport avec le calcul intégral. Il développe en 1857 la théorie des fonctions abéliennes, ce qui fait qu'on le considère comme le fondateur de la topologie. Sa soutenance pour l'habilitation en 1854 pose les bases de la géométrie différentielle, ouvre la voie des géométries non euclidiennes et servira à la relativité générale.
En étudiant la répartition des nombres premiers, il introduit en 1859 la fonction zêta et formule une conjecture (restée sous le nom de conjecture de Riemann) sur les zéros de cette fonction. La conjecture n'a pas encore été démontrée (voir les problèmes du millénaire).
Sources :
http://www.bibmath.net
http://mathematiques.fauriel.org