Giuseppe Peano naît le 27 août 1858 à Cuneo. Il étudie à partir de 1870 à Turin et reçoit le doctorat en 1880. Il enseigne alors dans la même ville. Son premier résultat important date de 1886 et traite des équations différentielles de la forme y'=f(x,y) (il démontre l'existence d'une solution locale si f est continue). Il se maria l'année suivante.
Il s'intéresse alors à la logique et introduit les symboles d'union et d'intersection. Ses recherches le persuadent de la nécessité de fonder les théories mathématiques sur des axiomes et définitions clairs desquels on déduit des propriétés. Ainsi, il propose une définition axiomatique des espaces vectoriels, et surtout des entiers naturels. Grâce à cette formalisation poussée à l'extrême, il découvre de nombreuses erreurs dans les ouvrages de ses prédécesseurs.
Cette formalisation ne se fit pas sans heurts. Réputé excellent pédagogue à ses débuts, il finit par perturber ses élèves par un usage abusif de symboles et fut renvoyé de l'Académie royale militaire en 1901.
Par la suite, il tentera de rendre universelles les notations mathématiques en introduisant un nouveau langage proche du latin, le « Latino sine flexione ». A cette fin, il publie en 1908 Formulario Mathematico, une encyclopédie censée contenir tous les théorèmes alors connus avec leurs démonstrations. Cependant, elle fut peu appréciée, à cause de l'utilisation du Latino sine flexione.
Cela ne l'empêcha pas de devenir commandeur de la couronne d'Italie (1921). Il mourut le 20 avril 1932 à Turin.
L'apport le plus célèbre de Peano est sa définition des entiers naturels à l'aide de cinq axiomes :
- Il existe un entier naturel noté 0.
- Chaque entier naturel admet un autre entier naturel comme successeur.
- 0 n'est le successeur d'aucun entier naturel.
- Si deux entiers naturels ont le même successeur, alors ils sont égaux.
- Si un sous-ensemble des entiers naturels contient 0 et s'il contient le successeur de tous ses éléments, alors ce sous-ensemble est exactement l'ensemble des entiers naturels. (Cet axiome justifie le principe de la démonstration par récurrence).
Sources :
http://www.bibmath.net
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