Georg Cantor est né le 3 mars 1845 à Saint-Petersourg. Ses parents très cultivés (son père est un riche commerçant et sa mère une musicienne) lui donnent une éducation très portée vers les arts. La famille déménage en 1856 à Frankfurt-am-Mein (Allemagne), pour améliorer la santé du père. Georg est un élève brillant et son père veut en faire un ingénieur, mais Cantor préfère étudier les mathématiques et il part à Berlin en 1862. Il y a comme enseignants Weierstrass et Kronecker et obtient un doctorat sur la théorie des nombres en 1867.
Il s'intéresse ensuite aux décompositions de Fourier. C'est pour étudier cette question qu'il introduit ce qu'il appelle les ensembles exceptionnels, ce qui l'amènera à définir proprement les nombres réels. C'est d'ailleurs la même année que Dedekind, avec qui il correspondait, propose une autre définition des réels. Les deux hommes se rendent alors compte qu'il y a « beaucoup plus d'irrationnels que de rationnels », sans aller plus loin car cette notion de « beaucoup plus » n'est pas encore clairement appréhendée.
En 1874, année de son mariage, il donne enfin dans le Journal de Crelle une définition du cardinal d'un ensemble infini, alors qu'on ne connaissait encore que les cardinaux finis. Il réalise alors de grandes avancées, découvrant par exemple qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers, ou autant de points dans un carré que sur un segment. L'apparence paradoxale de ces résultats vient du fait que nous raisonnons habituellement sur des ensembles finis, et que nous avons donc tendance à extrapoler des résultats trop facilement. C'est ainsi que Cantor révolutionne la vision d'un ensemble.
Cette révolution trouvera des ennemis chez les mathématiciens plus classiques, notamment Poincaré ou Kronecker qui empêchera de nombreuses publications de Cantor. Bien qu'il obtienne un poste à l'université de Halle (1879), ces difficultés le font déprimer. Il perd au milieu des années 1880 la volonté de continuer ses recherches et s'intéresse à la littérature et à l'histoire. Affecté en 1899 à un poste qui lui permet d'arrêter l'enseignement, il entre de plus en plus souvent en dépression et devient schizophrène. Il finira sa vie dans des maisons de repos et meurt le 6 janvier 1918 à Halle.
De par ses recherches sur les cardinaux, Cantor est à l'origine de résultats fondamentaux comme l'inexistence de certains ensembles (ce qui mènera à de meilleures définitions et favorisera l'essor de l'axiomatique) ou la formulation de l'hypothèse du continu (existe-t-il un ensemble infini de cardinal strictement compris entre ceux de N et de R ?), problème résolu seulement en 1963.