De nos jours, on apprend en primaire poser une division. Mais une poque, on apprenait aussi calculer les racines carres la main ! Voici donc comment faire si vous n'avez pas de calculatrice.
1 - Description de l'algorithme
2 - Exemples
3 - Preuve de l'algorithme
4 - Les btons de Napier

Voici deux exemples. Dans le premier, nous cherchons la racine carre de 123456. On commence par le sparer en tranches de 2 chiffres :
Exemple 1, tape 1
On cherche le plus grand carr infrieur 12 : c'est 32 = 9. On inscrit donc 3 en haut droite, et on soustrait au 12 le carr 9, ce qui donne un reste de 3. On inscrit ce 3 en dessous de 12 et on abaisse la tranche 34 :
Exemple 1, tape 2
Le dbut de la racine tant 3, on double ce nombre pour trouver 6. Nous devons donc trouver le plus grand a tel que 6a x a soit infrieur 334. Il s'agit de 5. On inscrit donc 5 ct du 3 (deuxime chiffre de la racine), et on soustrait 334 le produit 65 x 5, ce qui donne un reste de 9. On abaisse la tranche 56 :
Exemple 1, tape 3
Le dbut de la racine tant 35, on double ce nombre pour trouver 70. Nous devons donc trouver le plus grand a tel que 70a x a soit infrieur 956. Il s'agit de 1. On inscrit donc 1 dans la racine, et on soustrait 956 le produit 701 x 1, ce qui donne un reste de 255 :
Exemple 1, tape 4
Si l'on ne veut que la partie entire de la racine, on a termin : elle vaut 351. Plus prcisment, on a 123456 = 3512 + 255. Cependant, on peut aussi choisir de continuer l'algorithme pour avoir les dcimales. On ajoute donc une virgule la racine et on abaisse une tranche de zros :
Exemple 1, tape 5
Le dbut de la racine tant 351, on double ce nombre pour trouver 702. Nous devons donc trouver le plus grand a tel que 702a x a soit infrieur 25500. Il s'agit de 3. On inscrit donc 3 dans la racine, et on soustrait 25500 le produit 7023 x 3, ce qui donne un reste de 4431 :
Exemple 1, tape 6
La premire dcimale de la racine carre de 123456 est donc 3... on peut continuer cet algorithme l'infini en abaissant des zros (je vous laisse vrifier que la dcimale suivante est 6).

Voici un autre exemple, qui lui se termine sur une valeur exacte (et entire). On calcule ainsi la main que la racine carre de 1456849 est 1207 :
Exemple 2

Source :
Des trucs et des maths