De nos jours, on apprend en primaire à poser une division. Mais à une époque, on apprenait aussi à calculer les racines carrées à la main ! Voici donc comment faire si vous n'avez pas de calculatrice.
1 - Description de l'algorithme
2 - Exemples
3 - Preuve de l'algorithme
4 - Les bâtons de Napier

Avant tout, tracez deux traits comme pour une division. En haut à gauche, à la place du dividende dans la division, placez le nombre N dont vous voulez la racine. La place en haut à droite, qui dans une division contient le diviseur, contiendra la racine carrée. La première chose à faire est de séparer N en tranches de 2 chiffres en partant de la droite (il se peut donc que la tranche la plus à gauche n'ait qu'un chiffre).
Première étape : Cherchez le plus grand chiffre dont le carré soit inférieur à la première tranche. Par exemple si cette tranche est 12, ce sera 3 (puisque 32 = 9 mais 42 = 16). Ce chiffre sera le premier de la racine carrée donc inscrivez-le à gauche à la place du diviseur. Puis, un peu comme dans la division, soustrayez le carré de ce chiffre à N, ce qui nous donne un premier reste. Abaissez après ce reste la tranche de chiffres suivante (comme dans la division, mais avec 2 chiffres).
Etapes suivantes (en boucle) : vous avez fait un certain nombre d'étapes. Vous avez un reste à gauche (dans lequel vous venez d'abaisser une tranche) et le début de la racine carrée en haut à droite (qui contient en fait autant de chiffres que d'étapes déjà faites). Multipliez par 2 ce nombre (le résultat est M). Cherchez alors le plus grand chiffre a tel que Ma multiplié par a soit inférieur au reste inscrit à gauche (par exemple si ce reste est 334 et si M vaut 6, vous cherchez le plus grand a tel que 6a x a soit inférieur à 334 ; or 65 x 5 = 325 et 66 x 6 = 396 donc a = 5). a est un nouveau chiffre de la racine donc vous pouvez l'inscrire en haut à droite. Ensuite, soustrayez le produit obtenu (dans l'exemple précédent 325) au reste inscrit à gauche, pour trouver le nouveau reste. Vous n'avez plus qu'à abaisser une nouvelle tranche et recommencer l'étape !
Notez que la première étape est en fait la même que cette étape répétée, avec M = 0 et la première tranche de N comme reste.
Fin de l'algorithme : il se peut que vous ayez abaissé toutes les tranches, pour finir sur un reste nul. Dans ce cas, le nombre en haut à droite est exactement la racine carrée de N. Il se peut aussi que vous ayez abaissé toutes les tranches avec un reste r non nul. Dans ce cas, le nombre n en haut à droite est la partie entière de la racine de N, et en fait N = n2 + r. Mais en ce cas, vous pouvez en fait continuer l'algorithme, pour avoir la partie décimale de la racine carrée. Pour cela, faites comme dans une division : placez une virgule à côté de la « racine actuelle » puis abaissez tant que voulez des tranches de 0 à côté des restes successifs...

Source :
Des trucs et des maths