Voici une propriété assez intéressante, découverte par un amateur en 1916 et connue depuis sous le nom de théorème de Johnson (courte biographie et bibliographie en anglais). A partir d'un point du plan, tracez trois cercles de même rayon passant par ce point. Les trois cercles définissent deux à deux trois points d'intersection. Ces trois points sont non alignés donc ils définissent un nouveau cercle : il se trouve que ce nouveau cercle a le même rayon que les trois premiers !
On note P le point de départ, C1, C2 et C3 les trois cercles de même rayon passant sur ce point avec O1, O2 et O3 leurs centres, A l'intersection de C1 et C3, B l'intersection de C2 et C3, C l'intersection de C1 et C2 et enfin C4 le cercle passant par A, B et C.
Notez d'abord que dès que l'on considère deux cercles de diamètres égaux, leurs centres et leurs deux points d'intersection forment un losange (car les quatre distances possibles entre un centre et un point d'intersection sont toutes égales au rayon des deux cercles). Ainsi dans notre cas, en utilisant cette règle sur nos trois cercles deux à deux, on obtient trois losanges PO3AO1, PO1CO2 et PO2BO3. Ces trois losanges partagent tous un côté deux à deux (soit PO1, soit PO2 soit PO3) ce qui fait qu'ils sont collés et aussi qu'ils sont en fait tous identiques (leurs côtés ont la même longueur R qui est le rayon des trois cercles de départ).
Ainsi ces trois losanges semblent former le dessin d'un cube en 3D. Il ne manque plus pour avoir ce cube qu'à rajouter un sommet O et trois arêtes. Alors on obtient trois nouveaux losanges OBO3A, OBO2C et OCO1A (ce sont des losanges car ils représentent les faces d'un cube en 3D), et donc OB = OA = OC et de plus ces trois distances sont égales par exemple à PO2 donc à R. Autrement dit, A, B et C sont sur un cercle de centre O et de rayon R. Comme il n'existe qu'un cercle passant par trois points donnés, ce cercle de centre O et de rayon R se trouve être C4.
C4 est donc de rayon R comme C1, C2 et C3 !