Le paradoxe ci-dessous est attribué à Zénon d'Elée, philosphe grec du Vème siècle avant Jésus Christ.

Un jour, le célèbre Achille, héros de la guerre de Troie, fit une course avec une tortue. Comme il était réputé pour sa rapidité, on décida de laisser cent mètres d'avance à la tortue. Alors un parieur joua sur la tortue en tenant le raisonnement suivant : quand Achille aura parcouru les premiers cent mètres, il sera au point de départ de la tortue. Celle-ci aura avancé, certes d'une distance plus faible car elle est probablement plus lente, mais elle aura avancé ! Par exemple d'un mètre. Elle sera encore devant Achille. Quand celui-ci aura parcouru ce mètre supplémentaire, il se trouve que la tortue aura encore avancé d'une petite distance. Quand Achille rattrapera cet endroit, elle aura encore avancé ! En fait, Achille sera toujours derrière la tortue car quand il atteindra un « point de contrôle » du reptile, celui-ci sera au suivant. C'est donc l'animal qui va gagner.
Et vous, si vous aviez été sur place, sur qui auriez-vous parié ? Et si vous êtes pour Achille, comment expliquez-vous que malgré le raisonnement du parieur, c'est bien l'athlète qui a gagné ?

Examinons soigneusement le raisonnement, et supposons que les deux coureurs ont une vitesse constante. Puisque la tortue a fait un mètre pendant qu'Achille en faisait cent, la tortue va cent fois moins vite. En gros à chaque étape, la distance séparant la tortue d'Achille est divisée par cent mais Achille reste derrière. Cette distance tend donc vers 0 quand le nombre d'étape tend vers l'infini (mais sans jamais valoir 0 : ce n'est qu'une limite, un nombre dont on s'approche sans l'atteindre vraiment). Ainsi, quand on dit dans le raisonnement du parieur qu'Achille est toujours derrière, cela signifie qu'il ne rattrapera la tortue qu'après un nombre infini d'étapes (et donc dans la réalité, jamais).
Le problème c'est que s'il y a une infinité d'étapes, cela n'oblige pas forcément à obtenir une distance infinie ! Plus précisément en termes mathématiques, lorsqu'une suite tend vers zéro, il arrive qu'on ait le droit de faire la somme (infinie) de tous ses termes et qu'on tombe sur un nombre fini. Et ici, du fait que la distance est divisée par 100 à chaque fois (on appelle ça une suite géométrique), on peut montrer que la somme existe et on peut même la calculer : elle vaut 100/99 soit environ 1 mètre et 1 cm. Autrement dit pour notre « problème », bien qu'il faille à Achille un nombre infini d'étapes, les distances intermédiaires rapetissent si vite qu'en fait, il dépasse la tortue à exactement 100/99 mètres de son point de départ !

Source :
Maths et malices n°12, ACL éditions, juillet-août 1993