Le coin des amatheurs version 2
Désolé, mais vous devez être en première ou plus pour comprendre cette page !
Je vais vous démontrer par récurrence que pour tout entier positif k, la fonction fk qui à x associe xk est constante. Pour k = 0, j'obtiens la fonction f0 qui à x associe 1, qui est donc bien constante. Faisons maitenant l'hérédité : je suppose que pour n'importe quel i entier positif inférieur à k, la fonction fi est constante. Alors xk+1 = x.xk, soit en terme de fonctions fk+1 = f1.fk, et donc je peux dériver avec la formule du produit : (fk+1)' = f1'.fk + f1.(fk)'. Mais mon hypothèse de récurrence implique que f1 ainsi que fk sont constantes, d'où f1' = 0 et (fk)' = 0. Dès lors (fk+1)' = 0.fk + f1.0 = 0, et la fonction fk+1 est bien constante. J'ai montré l'hérédité, et je conclus par récurrence...
Le cas k = 0 est évidemment correct. Et en fait, l'hérédité est également correcte... ou presque. Observons attentivement : mon hypothèse de récurrence est que pour i inférieur à k, la fonction fi est constante. J'applique dans l'hérédité cette hypothèse à f1 et fk (c'est-à-dire i = 1 et i = k), donc j'ai implicitement supposé que k vaut au moins 1. Bref : l'hérédité est correcte, mais seulement à partir de 1. On a donc la propriété au rang 1 qui implique celle au rang 2, qui implique celle au rang 3, etc... mais on n'a pas le passage du rang 0 au rang 1. Cette démonstration serait donc correcte si on initialisait avec k = 1. Les deux morceaux de ma récurrence sont séparément corrects, mais ne se recollent pas. C'est en fait le même problème que dans la page Tous alignés.
Continuons à dériver des puissances. Vous savez que la dérivée de x3 est 3x2. Mais x3, c'est aussi x fois x2, ce qui s'écrit aussi (si je prend x entier) x2 + x2 + ... + x2, où j'ai écrit x fois x2. Je dérive alors cela comme une somme (la dérivée de x2 est 2x) : la dérivée de x3 est 2x + 2x + ... + 2x où j'ai écrit x fois 2x. Cette dérivée est donc x.2x = 2x2. J'ai donc obtenu, pour les valeurs entières de x : 3x2 = 2x2. J'en conclus que 3 = 2.
Il y a en fait deux problèmes ici. Non, dire que x3 vaut x2 + x2 + ... + x2 avec x termes n'est pas une des deux erreurs, c'est tout-à-fait correct : j'ai bien précisé que x était un entier. Par contre, je n'ai pas le droit de dériver cette somme comme je l'ai fait. La première raison est qu'elle n'est valable que pour x entier et qu'il est interdit de dériver une fonction définie uniquement sur les entiers (vérifiez la définition de la dérivée : pour dériver une fonction en un point a, vous avez besoin que la fonction soit définie AUTOUR DE a, et pas seulement EN a). L'autre raison pour laquelle cette dérivation par somme est fausse est que le nombre de termes de la somme dépend de x (puisque c'est x lui-même), et donc je n'ai pas le droit de dériver par rapport à ce x ! Je peux dériver n termes dépendant de x, mais je ne peux pas dériver x termes dépendant de x... (prenez un chewing-gum, Emile).