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Je vais vous démontrer par récurrence que pour tout entier positif k, la fonction fk qui à x associe xk est constante. Pour k = 0, j'obtiens la fonction f0 qui à x associe 1, qui est donc bien constante. Faisons maitenant l'hérédité : je suppose que pour n'importe quel i entier positif inférieur à k, la fonction fi est constante. Alors xk+1 = x.xk, soit en terme de fonctions fk+1 = f1.fk, et donc je peux dériver avec la formule du produit : (fk+1)' = f1'.fk + f1.(fk)'. Mais mon hypothèse de récurrence implique que f1 ainsi que fk sont constantes, d'où f1' = 0 et (fk)' = 0. Dès lors (fk+1)' = 0.fk + f1.0 = 0, et la fonction fk+1 est bien constante. J'ai montré l'hérédité, et je conclus par récurrence...
Le cas k = 0 est évidemment correct. Et en fait, l'hérédité est également correcte... ou presque. Observons attentivement : mon hypothèse de récurrence est que pour i inférieur à k, la fonction fi est constante. J'applique dans l'hérédité cette hypothèse à f1 et fk (c'est-à-dire i = 1 et i = k), donc j'ai implicitement supposé que k vaut au moins 1. Bref : l'hérédité est correcte, mais seulement à partir de 1. On a donc la propriété au rang 1 qui implique celle au rang 2, qui implique celle au rang 3, etc... mais on n'a pas le passage du rang 0 au rang 1. Cette démonstration serait donc correcte si on initialisait avec k = 1. Les deux morceaux de ma récurrence sont séparément corrects, mais ne se recollent pas. C'est en fait le même problème que dans la page Tous alignés.

Continuons à dériver des puissances. Vous savez que la dérivée de x3 est 3x2. Mais x3, c'est aussi x fois x2, ce qui s'écrit aussi (si je prend x entier) x2 + x2 + ... + x2, où j'ai écrit x fois x2. Je dérive alors cela comme une somme (la dérivée de x2 est 2x) : la dérivée de x3 est 2x + 2x + ... + 2x où j'ai écrit x fois 2x. Cette dérivée est donc x.2x = 2x2. J'ai donc obtenu, pour les valeurs entières de x : 3x2 = 2x2. J'en conclus que 3 = 2.
Alors, où est le problème ?
Solution