Soit n un entier quelconque. La formule de la somme dit :
1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n+1))/2   d'où :
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = ((n - 1)n)/2
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + ((n - 1)n)/2
1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + ((n - 1)n)/2
Et donc (n(n+1))/2 = 1 + ((n - 1)n)/2 = ((n - 1)n + 2)/2
n(n+1) = (n - 1)n + 2
n2 + n = n2 - n + 2
2n = 2
n = 1
Conclusion : tout entier est égal à 1.

L'erreur vient du passage :
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + ((n - 1)n)/2
1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + ((n - 1)n)/2
En effet, les écritures « 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 » et « 1 + 2 + 3 + ... + n » ne sont pas égales. Par exemple, si n = 6,
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Il faut être très attentif quand on utilise des points de suspension, et il vaut mieux utiliser le symbole Sigma (si on le connaît)

Source :
http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau