Je vais démontrer ici que dans un plan, n points quelconques sont toujours alignés. Cette démonstration se fait par récurrence. Si vous ne savez pas ce que c'est, cliquez ici.

Commençons par montrer l'hérédité : supposons qu'on ait montré que n points sont toujours alignés. Soient alors (n+1) points : A1, A2, ... , An+1. Les points A1 jusqu'à An sont un ensemble de n points donc d'après l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés. Autrement dit, le point A1 est sur la droite formée par les points A2 à An.
De même, les points A2 jusqu'à An+1 sont un ensemble de n points donc d'après l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés. Donc le point An+1 est sur la droite formée par les points A2 à An. Alors les points A1 à An+1 sont tous sur la même droite, celle formée par les points A2 à An. Les (n+1) points sont alignés.

Puisqu'on a l'hérédité, il ne nous manque que l'initialisation. Or elle est évidente : pour n = 2, 2 points sont toujours alignés ! Donc finalement, par récurrence, pour tout n à partir de 2, n points du plan sont toujours alignés.

L'erreur n'est ni dans l'initialisation (évident), ni dans l'hérédité ! En effet, si vous placez sur une feuille des points alignés, un point supplémentaire ne peut pas être aligné avec tous les points sauf un ! Du moins presque. Car l'hérédité n'est pas fausse en elle-même, mais elle n'est valable qu'à partir d'un certain rang : En effet, pour pouvoir dire « A1 est sur la droite formée par les points A2 à An » et « An+1 est sur la droite formée par les points A2 à An», il faut que « les points A2 à An » soit un ensemble comprenant au moins 2 points, pour définir une droite ! Il faut donc que n soit au moins égal à 3. En dessous, l'hérédité ne marche plus ; la preuve : deux points sont toujours alignés, trois ne le sont pas.
Ainsi, le problème de cette démonstration vient du raccord entre hérédité et initialisation : pour que la démonstration soit juste, comme l'hérédité est vraie à partir de n = 3, on doit absolument initialiser la démonstration avec n = 3, ce qui ici est évidemment impossible !
Pour voir un sophisme du même genre (et si vous connaissez les dérivées), cliquez ici.