Question 1 : Le billard sans trou c'est plus facile (3 points)
Ceci est une table de billard sans trou... Les douze points marqués sont des points particuliers du bord. J'ai placé une boule au point 1 et je l'ai poussée en direction du point 5. A chaque fois que la boule touche le bord de la table, elle repart en faisant un angle droit. Ainsi, de 5, elle ira vers 4. Si elle touche un angle, elle fait demi-tour. Sur quelle marque aura lieu le 357ème rebond, en considérant que le premier est en 5 ?
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e) 11
Pas besoin de faire les 357 rebonds ! On remarque qu'au bout de 8 seulement, on revient en 1. Or 357 = 44 x 8 + 5, donc le problème est le même qu'au 5ème rebond. Or après 5, vous voyez qu'on est au point 11.
Question 2 : Vampire de père en fils (4 points)
En Transylvanie vivent des vampires, qui se font un malin plaisir de mentir systématiquement, et des humains, qui disent toujours la vérité. Le problème est que dans les deux groupes, certains individus sont fous (et croient vrai tout ce qui est faux, et vice-versa) et d'autres sont sains d'esprit (et savent le vrai et le faux). Ainsi, à la question « La Terre est-elle ronde ? » :
- Un humain sain d'esprit répondra « oui »
- Un humain fou répondra « non » car il croit que c'est vrai
- Un vampire sain d'esprit dira « non » car il sait que c'est faux mais vous ment
- Un vampire fou dira « oui » car il croit vous mentir, mais se trompe lui-même
Un jour, j'ai croisé un père et son fils. Je leur ai demandé s'ils étaient fous.
- Il y en a au moins un de nous deux qui l'est, a répondu le père.
- C'est vrai, a acquiescé le fils.
- Quant à moi, je ne suis pas un vampire, a ajouté le père.
Je sais que l'un d'entre eux est un vampire et l'autre est humain. Que pensez-vous du père ?
a) C'est un humain sain
b) C'est un humain fou
c) C'est un vampire sain
d) C'est un vampire fou
Le père et le fils sont d'accord sur le fait qu'il y ait au moins un fou. Ainsi, ils mentent tous les deux ou disent la vérité tous les deux. Mais il y a un vampire et un humain donc il y a un humain sain et un vampire fou ou un humain fou et un vampire sain. Il y a donc bien dans les deux cas au moins un fou donc ils disent la vérité (puisque c'est ce qu'affirme le père). Et alors le père a raison quand il dit ne pas être un vampire : c'est un humain. Puisqu'il dit la vérité, il est donc sain.
Question 3 : Morgane de toi (5 points)
Un jour, le mathématicien anglais (né en Inde) Augustus de Morgan à qui on avait demandé son âge répondit : « J'ai fêté mes y ans l'année dont le numéro à quatre chiffres était le carré de y. »
Sachant qu'il est né et mort au XIXème siècle, en quelle année est-il né ?
a) 1803
b) 1806
c) 1807
d) On ne peut pas savoir, données insuffisantes
Le plus simple est de rechercher l'année en question qui est le carré de y : nous devons chercher un nombre à quatre chiffres commençant par 18 (puisque c'est au XIXème siècle) et étant un carré parfait. Par tâtonnement, on voit que 422 = 1764, 432 = 1849 et 442 = 1936 (Pour savoir par où commencer à tâtonner, on peut aussi calculer la racine de 1800 qui vaut 42,4). Il n'y a donc qu'une possibilité : y = 43 et Morgan avait 43 ans en 1849. Il est donc né en 1806.
Morgan est considéré avec George Boole (1815 - 1864, anglais) comme le fondateur de la logique moderne et a énoncé deux lois très importantes, montrant par exemple que le contraire de « fromage ou dessert » est « pas de fromage ni de dessert ».
Question 4 : Le paradis des géographes (5 points)
Cet archipel contient seize îles. Les géographes l'adorent car il est facile à cartographier : les seize îles sont parfaitement alignées dans un carré de 4x4. Les îles sont reliées par des ponts :
- Tous les ponts sont rectilignes et disposés horizontalement ou verticalement. Ainsi, ils ne relient que deux îles qui sont directement « côte-à-côte ».
- Entre deux mêmes îles, il peut y avoir un pont ou deux ponts parallèles, mais jamais plus.
- Le réseau de ponts permet de passer sans problème de n'importe quelle île à n'importe quelle autre.
Sur la carte que vous voyez, les numéros sur les îles indiquent le nombre de ponts partant de chacune. Un logicien vous demande si vous pouvez retrouver la position de tous les ponts et si les deux îles grisées sont reliées. Que lui répondez-vous ?
a) Ce problème a une unique solution, et les deux îles grisées sont reliées.
b) Ce problème a une unique solution, mais les deux îles grisées ne sont pas reliées.
c) Ce problème a plusieurs solutions, et les deux îles grisées sont toujours reliées.
d) Ce problème a plusieurs solutions, mais les deux îles ne sont pas forcément reliées.
e) Désolé, ce problème n'a aucune solution.
En examinant la situation, notamment en se concentrant d'abord sur les îles à 1 ou 4 ponts, on constate vite qu'il y a une unique solution (ci-contre). La bonne réponse est b.
Question 5 : L'enfer des géographes (7 points)
Les géographes aiment beaucoup moins cartographier ces deux îles rectangulaires. Onze pays différents y possèdent chacun deux territoires repérés par une même lettre. Les géographes doivent colorier cette carte en respectant deux règles : les deux territoires d'un même pays doivent être de même couleur et deux territoires d'une même île ayant une frontière commune doivent avoir deux couleurs différentes. Combien les géographes doivent-ils utiliser de couleurs différentes au minimum ?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 11, autant que de pays !
e) J'ai une autre réponse en tête.
Il faut au minimum 9 couleurs : réponse e.
Un théorème conjecturé en 1852, le théorème des quatre couleurs, dit que 4 couleurs suffisent pour colorier toute carte sans que deux territoires limitrophes n'aient la même couleur. Ici le problème est plus complexe car il y a deux cartes distinctes avec des couleurs qui doivent correspondre de l'une à l'autre !
Question bonus 1 : soutenons les vendeurs d'aspirine
J'ai quatre fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. J'ai quarante ans. Quel âge avez-vous ?
En regroupant les phrases, vous aviez dix ans quand j'avais l'âge que vous avez. Ainsi nous avons deux données : à l'époque, vous aviez dix ans et j'en avais x (où x est aussi votre âge actuel) et maintenant j'ai quarante ans et vous en avez x. Or la différence de nos âges est constante donc x - 10 = 40 - x et x = 25. Vous avez 25 ans.
Question bonus 2 : 2547, l'odyssée de l'espace
En 2547, un vaisseau de secours avec son équipage possède 95 jours d'autonomie en oxygène. Il rencontre un vaisseau perdu et recueille 7 rescapés. Son autonomie tombe alors à 60 jours. Six jours plus tard, il trouve un autre vaisseau détérioré. Il recueille de nouveaux passagers et son autonomie tombe à 38 jours.
Combien étaient les nouveaux rescapés ?
Il y avait 8 rescapés (Voir le problème numéro 9 du site)