Le coin des amatheurs version 2
Prenons un demi-cercle de rayon 1. Son périmètre vaut pi et son diamètre vaut 2.
A présent, je divise le rayon par 2 et je trace deux nouveaux demi-cercles joints. Leur rayon vaut 0,5. Leur périmètre vaut donc 0,5 pi. Ainsi, le périmètre de l'ensemble vaut pi. Ceci montre que si je « divise un demi-cercle en deux », son périmètre reste le même.
Je peux donc recommencer, la forme en zig-zag a toujours une longueur de pi
Je continue ainsi de nombreuses fois. Finalement, le zig-zag finit par se confondre avec le diamètre du demi-cercle initial. Leurs longueurs sont donc identiques : 2 = pi
L'erreur vient du fait que je n'ai pas le droit de dire que le zig-zag se confond avec le diamètre. C'est vrai qu'il s'en rapproche de plus en plus mais en toute rigueur mathématique, on peut affirmer que les deux éléments ne seront jamais confondus : il y aura toujours un espace, même infime, entre les deux. C'est le même problème qu'avec l'escargot qui chaque jour fait la moitié du chemin qui lui reste à faire : il n'atteindra jamais sa cible !
Source :
Les nombres et leurs mystères, André Warusfel, éditions du Seuil, 1961