Cette démonstration se fait par l'absurde : supposons que racine(2) est un rationnel. Alors racine(2) = p/q, où p et q sont deux nombres entiers n'ayant aucun diviseur commun. Alors, en élevant au carré, p2/q2 = 2 donc p2 = 2q2 et donc p2 est pair. On en déduit que p est pair (s'il était impair, il s'écrirait 2n + 1 avec n entier, et alors p2 s'écrirait 4n2 + 4n + 1 donc serait impair). Alors p = 2k, où k est un nombre entier. En reportant, on trouve (2k)2/q2 = 2, c'est-à-dire q2 = 2k2 donc q2 est pair, et donc q est pair.

Alors p et q sont tous les deux divisibles par 2. Mais d'autre part, p et q n'ont pas de diviseur commun. C'est une contradiction ! L'hypothèse de départ est donc fausse : racine(2) n'est pas un rationnel.

Voir aussi : Comment l'infini apparaît dans racine(2)