On construit un carré ABCD. Le cercle de centre D et de rayon CD coupe la diagonale [BD] en E. On trace alors la tangente au cercle en E, elle coupe [BC] en F. Alors BEF est un triangle rectangle isocèle en E. racine(2) est donc en même temps le rapport BD/DC et le rapport BF/EF.
On a alors la relation :
On en déduit :
ou même :
Finalement, on peut définir racine(2) comme une fraction infinie, qui se répète elle-même. Cela permet de trouver des valeurs approchées de racine(2). On définit f(x) = 1 + 1/(1 + x). En partant de x = 1, plus on applique f et plus on approche de racine(2) ! En fait, on peut utiliser de telles fractions pour calculer n'importe quelle racine carrée. Note historique : les pythagoriciens ont certes découvert beaucoup de choses, mais ils pensaient que tous les nombres étaient rationnels. Lorsqu'un adepte de Pythagore découvrit cette relation sur racine(2), il contredit cela, montrant que racine(2) est irrationnel. La légende dit qu'il fut noyé.
Source :
Palais de la découverte, Paris