Le coin des amatheurs version 2
Deux amis, A et B, sont au café. A commande une tasse de café et B une tasse de lait (de volumes identiques). Puis A met 1/4 de son café dans le lait de B. B remue sa tasse et donne à A le volume de son mélange nécessaire pour reconstituer le volume initial. Sans faire de calculs, intuitivement, savez-vous qui a le plus d'« impuretés » dans sa boisson ? Répondez ensuite avec des calculs.
Intuitivement, on est tenté de de dire que B a plus de café dans son lait qu'A n'a de lait dans son café. En effet, ils ont donné chacun à l'autre le même volume mais A a donné du café pur, alors que B a donné du lait avec un peu de café.
Mais faisons le calcul : Si les tasses contiennent 1 unité arbitraire de liquide, A a 1 unité de café et B a 1 unité de lait. A donne donc 0,25 café à B et les tasses contiennent donc : A = 0,75 café et B = 1 lait + 0,25 café. La tasse de B est composée à 4/5 de lait et à 1/5 de café. Comme il doit rendre à A 0,25 unité de liquide, il va lui donner 0,2 unité de lait et 0,05 unité de café. La nouvelle répartition est donc : A = 0,8 café + 0,2 lait et B = 0,8 lait + 0,2 café. Chacun a donc autant d'impuretés dans sa tasse, résultat assez étonnant.
Vérifions à présent qu'il est vrai quelque soit la quantité de liquide que chacun donne à l'autre.
Donnons à chacun 1 unité de liquide puis faisons leur échanger q unité (q est bien sûr plus petit que 1).
Position initiale : A = 1 café et B = 1 lait.
Après le premier échange : A = 1-q café et B = 1 lait + q café. Le mélange de B est donc composé à 1/(1+q) de lait et à q/(1+q) de café. Or il doit rendre à A q liquide. Il va donc lui céder q/(1+q) de lait et q2/(1+q) de café. D'où les proportions finales :
A = (1-q + q2/(1+q)) café + q/(1+q) lait et B = (1 - q/(1+q)) lait + (q - q2/(1+q)) café. Or q/(1+q) = q - q2/(1+q) donc les quantités d'impuretés sont les mêmes pour A et B.
Plus étonnant encore, cela marche même si les quantités initiales de café et de lait sont différentes :
Prenons la position initiale A = 1 café et B = n lait avec n différent de 1.
Après le premier échange : A = 1-q café et B = n lait + q café.
Les proportions du mélange de B sont de n/(n+q) lait et q/(n+q) café. Comme il doit rendre q liquide à A, il va lui donner nq/(n+q) lait et q2/(n+q) café. Les quantités finales sont donc :
A = (1 - q + q2/(n+q)) café + nq/(n+q) lait et B = (n - nq/(n+q)) lait + (q - q2/(n+q)) café.
Or nq/(n+q) = q - q2/(n+q) donc les quantités d'impuretés sont les mêmes pour A et B. (Attention : les volumes n'étant pas identiques dans ce cas, les concentrations en impuretés ne sont pas égales).