Question 1 (2 points)
Vous jouez avec un ami au jeu suivant : devant vous se trouvent plusieurs allumettes. Chaque joueur peut à tour de rôle en enlever 1, 2 ou 3. Le joueur qui prend la dernière allumette a perdu (autrement dit, si un joueur laisse une seule allumette, il a gagné).
C'est à vous de jouer et il reste 6 allumettes. Combien devez-vous en enlever pour être sûr de gagner quoi que fasse l'adversaire ?
a) 1 allumette
b) 2 allumettes
c) 3 allumettes
d) Rien ne permet de gagner à coup sûr
Réponse a. Plus de précisions ici.
Question 2 (3 points)
Un polygone régulier a la somme de ses angles valant 900°. Quel est ce polygone ?
a) un pentagone
b) un hexagone
c) un septagone
Si un polygone a n côtés, la somme de ses angles plus un « cercle au centre » de 360° vaut la somme des angles de n triangles soit 180n. D'où la somme des angles d'un polygone : 180n - 360 = 180(n-2). Ici, on a donc n = 7. Réponse c. Remarque : cette formule reste valable pour un polygone non régulier, tant qu'il est convexe.
Question 3 (4 points)
Sur un carré de côté a, on a construit à partir de chaque angle le cercle passant par le centre. On obtient une sorte de rosace. Quelle est son aire?
a) a2 (pi - 2)
b) a2 (2pi - 2)
c) a2 (pi/2 - 2)
d) a (pi - 4)
Séparons chaque branche de la rosace en « demies-lunes ». On en obtient 8. Si on en prend 4 et qu'on les place sur les côtés du carré vers l'extérieur, on voit que la somme des aires des 4 demies-lunes vaut l'aire du cercle moins celle du carré, soit pir² - a². L'aire de la rosace est donc 2pir² - 2a². Or le théorème de Pythagore donne 2r² = a². Réponse a.
Question 4 (7 points)
Pour mes vacances, j'hésite entre trois hôtels de luxe : l'hôtel Alexandre, le Bonaparte et le César. L'un est peint en jaune, l'autre en rose et le troisième en gris. Celui qui est peint en jaune vient d'ouvrir et n'a pas de tennis, mais ses clients ont le droit d'aller jouer sur le court de l'hôtel Alexandre. Sachant que le Bonaparte est antérieur à l'hôtel peint en rose, quel est la couleur du César ?
a) jaune
b) rose
c) gris
L'hôtel jaune n'est pas le Bonaparte (car celui-ci n'est pas le plus récent) ni l'Alexandre (celui-ci a un tennis) donc c'est le César. Réponse a.
Question 5 (8 points)
Un archéologue pense avoir enfin découvert un cimetière mayatonien. Il a devant lui les quatre pierres tombales dessinées ci-contre. Chacune comporte sur une face un cercle ouvert ou fermé et sur l'autre face des lignes. Bien sûr, les pierres sont enterrées et on ne voit qu'une face. Pour vérifier leur authenticité, il doit regarder si elles respectent la règle ancestrale : « Le cercle ne peut pas être ouvert s'il n'y a pas de l'autre côté au moins cinq traits. » Malheureusement, il n'a le droit de retourner que deux pierres. Quelles pierres doit-il vérifier ?
a) Les pierres 1 et 3
b) Les pierres 2 et 4
c) Les pierres 1 et 2
d) Les pierres 3 et 4
e) Un autre couple
f) Il est impossible de vérifier car il faudrait retourner plus de 2 pierres
Il faut en fait vérifier que si une pierre a un cercle ouvert, elle a au moins 5 traits de l'autre côté. On doit donc vérifier la 1. La 2 doit aussi être vérifiée car le cercle ne doit pas être ouvert. La pierre 3 n'a pas besoin, le nombre de traits importe peu. La pierre 4 non plus car il y a plus de cinq traits donc le cercle peut être ouvert ou fermé. Réponse c.
Question bonus
Deux capitaines de l'empereur ont disposé leurs soldats en deux carrés parfaits pour un défilé. Les effectifs des deux légions diffèrent de 217 hommes. La plus nombreuse a 7 rangées de plus que l'autre. Combien y a-t-il de soldats au total (avec les deux capitaines mais sans l'empereur !) ?
Soit n le nombre de rangées de la plus petite légion. L'autre en a n+7 donc (n+7)2 = n2 + 217, soit 14n + 49 = 217 donc n = 12. Il y a donc 122 + 192 + 2 soit 507 soldats.