Question 1 (2 points)
Alexandre visite le musée des artistes mathématiciens. Une statue porte l'inscription : « Cette statue pèse une tonne plus la moitié de son poids ». Combien pèse-t-elle ?
a) une tonne et demi
b) deux tonnes
c) deux tonnes et demi
d) autre réponse
La statue pèse deux tonnes : elle pèse une tonne plus la moitié de son poids soit une tonne. Vous avez peut-être répondu une tonne et demi mais c'est un piège ! L'énoncé dit qu'elle pèse une tonne plus la moitié de son poids. Mais la moitié de son poids s'applique à son poids total et non juste à 1 tonne. La difficulté de cette question vient de sa formulation.
Question 2 (2 points)
384 ; 475 ; 566 ; 657 ; ?
Quel nombre termine cette suite ?
a) 748
b) 754
c) 761
d) 775
e) autre réponse
Le nombre suivant est 748 : pour passer d'un nombre à l'autre, on ajoute 1 aux chiffres des centaines et des unités et on enlève 1 au chiffre des dizaines (autrement dit, on ajoute 91)
Question 3 (2 points)
Jean dispose de 216 cubes de dimensions identiques. Il les empile pour forme un gros cube dont chaque coté est composé de six petits cubes. Il peint ensuite les faces de ce gros cube. Il sépare les petits cubes et compte les faces qui ne sont pas peintes. Combien trouve-t-il ?
a) 900
b) 1080
c) 1200
d) autre réponse
Chaque face du gros cube possède 6x6 = 36 faces de petits cubes. Jean peint donc 6 x 36 = 216 faces de petits cubes. Or les 216 petits cubes ont au total 216x6 = 1296 faces. Le nombres de petites faces non peintes est donc 1296 - 216 = 1080.
Question 4 (4 points)
Dans la principauté de Tetenatie, les précipitations annuelles ont été de : 611 mm en moyenne entre 1995 et 1999, 3000 mm au total entre 1996 et 2000, 302 mm en 1995. Quelles étaient les précipitations en 2000 ?
a) 227 mm
b) 237 mm
c) 247 mm
d) 257 mm
e) 267 mm
f) autre réponse
De 1995 à 1999 compris, il a plu au total 611 x 5 = 3055 mm. On en déduit que de 1996 à 1999 compris, il a plu 3055 - 302 = 2753 mm. Or de 1996 à 2000 compris, il a plu au total 3000 mm. En 2000, il a donc plu 3000 - 2753 = 247 mm.
Question 5 (4 points)
Voici deux vases ayant le même volume. On les remplit d'eau en même temps avec le même débit. Pour chaque vase, on trace une courbe représentant le niveau d'eau dans le vase en fonction du volume d'eau. Laquelle des courbes ci-dessous ne correspond à aucun des deux vases ?
a) la courbe de gauche
b) la courbe du milieu
c) la courbe de droite
Le vase de droite ayant toujours la même largeur, la variation de la hauteur d'eau en fonction du temps est constante. Il correspond donc à la courbe du milieu. Le vase de gauche est quand on monte de moins en moins large. Au fur et à mesure que le temps passe, la hauteur de l'eau monte de plus en plus vite. C'est la courbe de droite. La courbe en trop est celle de gauche (elle correspondrait à un vase dont les bords sont de plus en plus écartés quand on monte). J'ai vu cette expérience à la cité des sciences.
Question 6 (4 points)
Anthony s'ennuie. Il décide de fabriquer un damier géant de 108 cases sur 210 cases. Il le pose devant lui. Sur la case qui se trouve dans l'angle en bas à droite, il pose un pion. Il s'amuse à bouger ce pion en diagonale jusqu'à rencontrer un bord du damier. A ce moment, il repart en formant un angle droit (voir dessin). Il continue jusqu'à atteindre un angle. Sachant que ce n'est pas l'angle de départ, lequel est-ce ?
a) l'angle en haut à gauche
b) l'angle en haut à droite
c) l'angle en bas à gauche
Imaginons que le damier est coloré en noir et en blanc. Le damier possède 108 cases sur 210 soit des nombres pairs. On peut en déduire que la case en bas à droite et celle en haut à gauche sont de même couleur et que la case en bas à gauche et celle en haut à droite ont l'autre couleur. De plus, le pion étant déplacé en diagonale, il reste toujours sur des cases de même couleur. Etant parti de la case en bas à droite, il peut arriver soit sur cette même case, soit sur la case en haut à gauche. Or il n'est pas arrivé sur la case de départ ; il est donc arrivé en haut à gauche.
Question 7 (6 points)
Dans un cercle, je trace trois droites non parallèles. Combien de morceaux de cercles puis-je obtenir au maximum ?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
Non, ce n'est pas 8 ! Si vous tracez trois droites non parallèles dans un cercle, vous pouvez avoir au maximum 7 zones, et non pas 2 x 2 x 2. De la même manière, en plaçant deux points sur une droite, vous n'aurez pas 2 x 2 = 4 parties mais bien 3.
Question 8 (6 points)
Un chasseur de trésors va entrer dans un temple. Mais celui-ci est bien gardé. Deux gardes magiques apparaissent et disent : « donne-nous une affirmation. Si tu mens, nous te décapiterons. Si tu dis la vérité, nous te pendrons. » Que peut-il dire pour échapper aux gardes ?
a) « Vous allez me pendre »
b) « Vous allez me couper la tête »
c) « Et pourquoi pas les deux ? »
Si le pauvre homme répond la phrase a, il sera pendu. Quant à la phrase c, elle est très fantaisiste, c'est juste pour avoir une autre proposition. La bonne réponse est la b : s'il dit cela, alors les gardes ne pourront ni le décapiter (car il aurait dit vrai et on ne peut le décapiter que s'il dit faux) ni le pendre (car il aurait dit faux et on ne peut le pendre que s'il dit vrai). Il peut donc partir.
A ce propos, consultez les pages « Paradoxes et sophismes ».
Question 9 (6 points)
Un polygone régulier a 10 cotés. Combien a-t-il de diagonales ?
a) 5
b) 15
c) 25
d) 35
e) autre réponse
Notons n le nombre de côtés d'un polygone. Les diagonales sont les traits reliant deux sommets, tout en n'étant pas des côtés. Autrement dit, à partir de chaque sommet, on peut mener (n-3) diagonales : vers tous les sommets sauf lui-même et ses deux « voisins ». Il y a donc n(n-3) possibilités. Il faut encore diviser cela par 2 car on a compté chaque diagonale en double. Ainsi, la formule générale pour le nombre de diagonales d'un polygone à n cotés est n(n-3)/2. Pour un décagone, on a donc 35 diagonales.
Attention à ne pas répondre 5 ! Si vous l'avez fait, c'est que les seules diagonales que vous considérez sont celles reliant deux points complètement opposés. C'est une erreur !
Questions supplémentaires
Je trace le cercle circonscrit à un carré.
a) Sachant que la surface appartenant au cercle mais pas au carré a une aire de 9pi - 18, quel est le rayon du cercle ?
b) Je trace l'hexagone régulier inscrit dans le même cercle. Quelle est l'aire de cet hexagone ?
a) Notons r le rayon du cercle. Son aire vaut r2pi. Quant au carré, r est la longueur de la moitié de sa diagonale. D'après le théorème de Pythagore, la mesure de son coté est donc racine (2r2) et son aire vaut 2r2. La surface appartenant au cercle mais pas au carré a donc pour aire l'aire du cercle moins celle du carré soit r2pi - 2r2 = r2(pi - 2). On a donc l'égalité r2(pi - 2) = 9pi - 18 d'où r2 = 9 et, comme r est positif, r = 3.
b) L'hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux de côté 3 (rayon du cercle). Chacun a donc pour aire (racine (3))/2 x 3² soit 9racine(3)/2. L'aire totale de l'hexagone est donc 27racine(3).