Notons a le plus grand des nombres et b le plus petit. Le problème est de résoudre l'équation : (a+b) + (a-b) + ab + a/b = 243. On peut simplifier un peu : 2a + ab + a/b = 243. Soit a(2 + b + 1/b) = 243 et alors a(2b + b2 + 1) = 243b. Or (2b + b2 + 1) = (b+1)2. Du coup, on a :
a = 243b/(b+1)2 et a/b = 243/(b+1)2. Or a/b = 243 - 2a - ab est un nombre entier donc (b+1)2 est un diviseur de 243. Comme 243 = 35, on a trois cas :
   1) (b+1)2 = 30 = 1 et alors b = 0 ou b = -2
   2) (b+1)2 = 32 = 9 et alors b = 2 ou b = -4
   3) (b+1)2 = 34 = 81 et alors b = 8 ou b = -10
Comme b doit être non nul (puisqu'on divise par b) et positif, on retient deux cas : b = 2 ou b = 8. Alors, comme a = 243b/(b+1)2, on a a = 54 ou a = 24.

Réciproquement, si (a,b) = (54,2) ou (a,b) = (24,8), on a bien (a+b) + (a-b) + ab + a/b = 243.
On a donc 4 solutions : (54,2) (24,8) (2,54) (8,24).

Retour à l'énoncé