Formulée autrement, la question est : parmi 5, 6, 12, 14, 23 et 29, trouver un nombre tel que les autres se séparent en deux listes, dont la somme de l'une vaut le double de la somme de l'autre.
Notons alors que la somme des nombres restants doit être multiple de 3 (car si la plus petite somme vaut N, l'autre vaut 2N et le total est 3N). Or on a 5 + 6 + 12 + 14 + 23 + 29 = 89. 89 a pour reste 2 dans la division par 3 (si vous avez des connaissances en arithmétique, 89 est congru à 2 en modulo 3). Donc le nombre à retirer doit aussi avoir pour reste 2. Ceci élimine 6 et 12. Essayons les autres :
- Si j'enlève le 5, la somme restante est 84 = 3 x 28 donc je dois former avec 6, 12, 14, 23 et 29 une liste totalisant 28 et une autre valant 56. Le 29 est nécessairement dans la deuxième. Je dois donc former avec 6, 12, 14 et 23 une liste de 28 et une de 27 (56-29). Or le 23 ne peut être dans aucune des deux : car il resterait à placer 5 dans la première ou 4 dans l'autre mais le plus petit nombre est 6. C'est donc impossible. On élimine le 5.
- Si j'enlève le 14, il reste 75 = 3 x 25. Je dois donc former avec 5, 6, 12, 23 et 29 une somme de 25 et une autre de 50. Le 29 est alors forcément dans la seconde (il est trop grand pour la première), il faut donc faire avec 5, 6, 12 et 23 une somme de 25 et une de 21. Le 23 est alors dans la première (même raison) et il faut faire avec 5, 6 et 12 une somme de 2 et une de 21. C'est impossible.
- Si j'enlève le 23, il reste 66 = 3 x 22. Je dois donc former avec 5, 6, 12, 14 et 29 une somme de 22 et une de 44. Le 29 est alors dans la deuxième et je dois faire avec 5, 6, 12 et 14 une somme de 22 et une de 15. Le 14 se retrouve dans la première (car sinon, il resterait 1 dans la deuxième, ce qui ne marche pas) et je dois faire avec 5, 6 et 12 une somme de 8 et une de 15. C'est impossible.
- Enfin, si j'enlève le 29, il reste 60 = 3 x 20. Je dois donc former avec 5, 6, 12, 14 et 23 une somme de 20 et une de 40. Or 6 + 14 = 20 et 5 + 12 + 23 = 40.
Je dois vendre le panier de 29 oeufs.

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