Première solution : essayer tous les nombres de la forme aabb (il y en a 100). Mais il y a plus rapide :
On cherche un nombre aabb. il vaut donc 1100a + 11b. Il est de plus égal à n2 avec n entier. On a donc n2 = 11(100a + b) donc 11 divise n2. Alors, 11 étant un nombre premier, il divise n. Il existe donc un entier k tel que n = 11k. On en déduit : 121k2 = 11(100a + b) soit 100a + b = 11k2 donc 11 divise (100a+b). Or 11 divise 99a donc il divise (100a+b) - 99a = a+b. Or a et b sont deux chiffres donc leur somme ne dépasse pas 18. du coup, a+b = 0 ou a+b = 11. Or il est impossible que a+b = 0 (dans ce cas, on aurait a = b = 0 donc le nombre cherché serait nul, ce qu'on ne veut pas) donc a+b = 11.
Ensuite montrons qu'un carré parfait ne peut prendre que certaines valeurs : étudions le dernier chiffre des premiers carrés. 02 = 0 ; 12 = 1 ; 22 = 4 ; 32 = 9 ; 42 = 16 ; 52 = 25 ; 62 = 36 ; 72 = 49 ; 82 = 64 ; 92 = 81. b a donc 6 valeurs possibles : 0, 1, 4, 5, 6 et 9. Les deux premières sont exclues par la condition a+b =11.
Finalement, on n'a que 4 nombres à tester : 7744, 5566, 6655 et 9922. Après vérification, seul 7744 (882) convient.

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