Le coin des amatheurs version 2
La première solution, plus compliquée, consiste à chercher la forme de la fonction : on constate que f(n+1) = f(1) + f(n) + 2547. Ce pourrait donc être une fonction affine de coefficient directeur (f(1) + 2547). Il faut trouver f(0) (ordonnée à l'origine) et f(1) (pour le coefficient directeur) : on constate que f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) + 2547 donc en enlevant f(0) des deux côtés, f(0) = -2547. On aurait alors selon notre hypothèse : f(n) = (f(1) + 2547).n - 2547. Or f(2004) = 2547, soit (f(1) + 2547).2004 - 2547 = 2547 donc (f(1) + 2547).2004 = 5094 soit f(1) = 5094/2004 - 2547. On obtiendrait alors, selon notre intuition : f(n) = (5094/2004) * n - 2547. On peut vérifier facilement par récurrence que cette intuition est bonne. Il reste à appliquer la formule : f(3006) = (5094/2004) * 3006 - 2547 = (3/2) * 5094 - 2547 = 3*2547 - 2547 = 2*2547 = 5094.
La deuxième solution est bien plus simple, avec une petite astuce : on constate d'abord que 2547 = f(2004) = f(1002) + f(1002) + 2547, d'où f(1002) = 0. Alors f(3006) = f(2004) + f(1002) + 2547 = 2547 + 0 + 2547 = 5094.