Commençons par écrire ce nombre comme une fraction irréductible. Les décimales se répètent selon un cycle de 3, ce qui incite à multiplier par 1000 : 1000 x 4,234234... = 4234,234234... et donc 1000 x 4,234234... - 4,234234... = 4234,234234... - 4,234234..., c'est-à-dire 999 x 4,234234... = 4234 - 4 puis 4,234234 = 4230/999. On constate que le PGCD de 4230 et 999 est 9, d'où 4,234234... = 470/111.
Or ce nombre est le quotient de l'année de naissance de mon ancêtre (qui est un nombre entier) par un autre nombre entier, donc cette année de naissance est un multiple de 470. Ce peut donc être 470, 940, 1410, 1880, 2350, ... Puisque c'est au XIXème siècle, c'est donc 1880. Ainsi le quotient de 1880 par le nombre cherché vaut 470/111. Par produit en croix, le nombre est 1880 x 111/470 = 444.

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